(对应学生用书P299 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是 ( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析 B “至少一个”的否定是“一个都没有”．
2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B.P＝Q
C．P＜Q D.由a的取值确定
解析 C ∵P2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2，
∴P2＜Q2.∵P＞0，Q＞0，∴P＜Q.
3．(2013·绵阳模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝ ( )
A．a B.－b
C. D.－
解析 B ∵f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.
4．证明不等式－<－(a≥2)所用的最适合的方法是
( )
A．综合法 B.分析法
C．间接证法 D.合情推理法
解析 B 欲比较－，－的大小，只需比较＋，＋，(＋)2＝2a－1＋2·，(＋)2＝2a－1＋2·，只需比较·，·的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法，故选B.
5．设平面内有四边形ABCD和点O，且＋＝＋，则四边形ABCD为 ( )
A．菱形 B.梯形
C．矩形 D.平行四边形
解析 D 由＋＝＋，得－＝－，即＝，∴四边形ABCD为平行四边形．
6．(2013·河南调研)实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是 ( )
A．02.
综上可知，2a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析 首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使a＋b>a＋b，只需(a＋b)2>(a＋b)2，即a3＋b3>a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2>ab，即(a－b)2>0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.
【答案】 a≥0，b≥0且a≠b
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数．
解析 假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1，有1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，即ac＋bd≤1，这与ac＋bd>1矛盾，故假设不成立．即a，b，c，d中至少有一个为负数．
11．(12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证：f为偶函数．
解析 要证f为偶函数，
只需证f的对称轴为x＝0，
只需证－－＝0，即证a＝－b.
∵函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，
∴－－1＝－，∴a＝－b，∴f为偶函数．
12．(16分)已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．求证：
(1)函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)方程f(x)＝0没有负根．
解析 (1)方法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，＞1且＞0，
∴＝ (－1)＞0.
又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴－＝
＝＞0.
于是f(x2)－f(x1)＝＋－＞0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
方法二：f(x)＝ax＋1－(a＞1)，
求导数得f′(x)＝axln a＋，
∵a＞1，∴当x＞－1时，axln a＞0，＞0，
∴f′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立，
则函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)方法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则＝－，且0＜＜1，
∴0＜－＜1，即＜x0＜2，
与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．
方法二：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
①若－1＜x0＜0，则＜－2，＜1，
∴f(x0)＜－1，与f(x0)＝0矛盾．
②若x0＜－1，则＞1，＞0，
∴f(x0)＞1，与f(x0)＝0矛盾．
综上，方程f(x)＝0没有负根．
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