第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则3x＋4y的最小值是 ( )
A．13 B．15
C．20 D．28
2．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为 ( )
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3]
3．若不等式组，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 ( )
A. B.
C. D.
4．已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是 ( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[0,2] D．[－1,2]
5．已知实数x，y满足，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为 ( )
A．a≥1 B．a≤－1
C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≥－1
6．若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为 ( )
A．－8 B．－6
C．0 D．12
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为________．
8．已知实数x，y满足(a∈R)，若目标函数z＝x＋3y只有当时取得最大值，则实数a的取值范围是________．
9．已知实数x，y满足约束条件，则z＝的最小值为________．
三、解答题
10．已知?ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在?ABCD的内部，求z＝2x－5y的取值范围．
11．由约束条件所确定的平面区域的面积S＝f(t)，试求f(t)的表达式．
12．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
详解答案
一、选择题
1．解析：不等式组
表示的可行域如图所示，根据目标函数z＝
3x＋4y的几何意义容易求得，当x＝3，y＝1时，z有最小值13.
答案：A
2．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可转化为
，由图可得其对应的可行域为边长为，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．
答案：D
3．解析：由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过A(0，)，y＝kx＋将区域平均分成面积相等两部分，故过BC的中点D(，)，＝k×＋，k＝.
答案：A
4．解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN， N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝ ·＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即 · 的取值范围为[0,2]．
答案：C
5．解析：作出x，y满足的可行域，如图阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，
∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
答案：C
6．解析：根据得可行域如图中阴影部分所示：
根据z＝x＋2y得y＝－＋，平移直线y＝－得过M点时取得最小值．
根据得，则zmin＝4＋2×(－5)＝－6.
答案：B
二、填空题
7．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC为等腰直角三角形，A(2,2)，B(1,1)，C(1,2)，因此△ABC的外接圆的圆心为(，)，半径为＝.所以所求外接圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.
答案：(x－)2＋(y－)2＝
8．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域，其中直线x－ay－1＝0经过定点(1,0)且斜率为，结合图形可知，只有当>0，即a>0时，目标函数z＝x＋3y才能在点(1, 0)处取得最大值(如图(1))；若<0，则可行域变为开放的区域，目标函数z＝x＋3y不存在最大值(如图(2))．所以实数a的取值范围是a>0.
答案：(0，＋∞)
9．解析：作出不等式组所表示的可行域(图略)，z＝＝22x·2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝的最小值为2－2＝.
答案：
三、解答题
10．解：由题可知，平行四边形ABCD的点D的坐标为(0，－4)，点(x，y)在平行四边形内部，如图，所以在D(0，－4)处目标函数z＝2x－5y取得最大值为20，在点B(3,4)处目标函数z＝2x－5y取得最小值为－14，由题知点(x，y)在平行四边形内部，所以端点取不到，故z＝2x－5y的取值范围是(－14,20)．
11．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，
而S△OPD＝×1×2＝1.
S△OAB＝t2，S△ECD＝(1－t)2，
所以S＝f(t)＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.
12．解：法一：设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：
z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，
z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0，8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
法二：设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
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