第七讲 直线与平面垂直的判定与性质
一、知识回顾
知识点1:如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线与平面互相垂直,记做.
叫做垂线,叫垂面,交点叫垂足.如图1
图1 图2
知识点2:(判定定理)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
知识点3:图2,直线和平面相交但不垂直,叫做平面的斜线,和平面的交点叫斜足;,叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条直线和平面所成的角.
直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是°角.
知识点4:(性质定理 )垂直于同一个平面的两条直线平行.
二、 典型例题
例1、如图,已知∥,,求证:.
例2、如图,在正方体中,求直线和平面所成的角.
例3、如图,在三棱锥中,,求证:.
例4、是异面直线的公垂线(与都垂直相交的直线),,,,
求证:∥.
三、课堂练习
1. 已知直线和平面,下列错误的是( ).
A. B. C.∥或 D.∥
2. 下列四个命题中错误的是( ).
A.∥ B.∥
C.∥ D.∥
3. ,且∥,则直线和面是( ).
A. B.与相交或∥或 C. D.∥或
4. 过平面外一点:①存在无数条直线与平面平行②存在无数条直线与平面垂直
③仅有一条直线与平面平行④仅有一条直线与平面垂直;其中正确结论的个数是( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.若平面∥平面,直线,则与_____.
6.在三棱锥中,,,若是的中点,试确定上点的位置,使得.
四、总结提升
1. 直线与平面垂直的定义、判定、性质;线线垂直与线面垂直的转化;
2. 直线与平面所成的角的定义及求法.
3. “平行”与“垂直”关系的相互转化.
※ 知识拓展
求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线,找到这点的射影—垂足的位置.确定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等,则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直,则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.
五、课后作业
1. 如图,在正方体中,是底面的中心,,为垂足,求证:面.
2. 如图,,,, ,求证:,.
【点此下载】