第七篇
不等式
第1讲 不等关系与不等式
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·浙江)若a，b为实数，则“0”的 ( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当00，则有a<；若b<0，则a<0，从而有b>.故“0”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a<或b>，但ab<0.故选A.
答案 A
2．(2013·赣州模拟)已知a>b，则下列不等式成立的是 ( )．
A．a2－b2≥0 B．ac>bc
C．|a|>|b| D．2a>2b
解析 A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D.
答案 D
3．(2012·宝鸡模拟)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案 C
4．如果a，b，c满足cac B．c(b－a)>0
C．cb20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析 由－<α<，－<－β<，α<β得－π<α－β<0.
答案 (－π，0)
6．(2013·南昌一模)现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．
解析 因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．
答案 2
三、解答题(共25分)
7．(12分)设00且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解 法一 当a>1时，由00，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0，从而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
当0|loga(1＋x)|.
法二 平方作差
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga>0.
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法三 作商比较
∵＝＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵01及>1，
∴log(1＋x)>0，故>1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
8．(13分)已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解 由题意，得解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·上海)若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是 ( )．
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
解析 对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，显然B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理＋＝2 ＝2.
答案 D
2．(2013·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，
∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，
当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，
∴甲?乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0时，
则2b－a＝b>0，
但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要条件．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，
∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f(x)在R上是单调减函数，
∴f(α)b>0，则>；
②若a>b>0，则a－>b－；
③若a>b>0，则>；
④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
解析 ①作差可得－＝，而a>b>0，则<0，此式错误．②a>b>0，则<，进而可得－>－，所以可得a－>b－正确．③－＝＝＝<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．
答案 ②
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2011·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明
x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明
logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明 (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋≤＋＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．
6．(13分)已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤
f 对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．
解 假设实数m存在，依题意，
可得
即
因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－)2的最大值为0，要满足题意，必须有
解得m＝－或≤m≤3.
所以实数m的取值范围是∪.
探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.
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