第七章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．函数f(x)＝的定义域是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意，得解此不等式组，得.故选D.
2．已知c<0，则下列不等式中成立的是 ( )
A．c>2c B．c>()c
C．2c>()c D．2c<()c
答案 D
3．已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则b的取值范围是 ( )
A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)
B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)
C．(－∞，e2]
D．[1，e2]
答案 A
解析 b≤0时，f(x)在(1，e)上为增函数，
b>0时，当x>0时，x＋≥2，
当且仅当x＝即x＝取等号．
若使f(x)在(1，e)上为单调函数，
则≤1或≥e，∴00且≥1，即00的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值分别为________．
答案 －4,1
12．已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)(＋x)的最小值为________．
答案 4
解析 依题意知，(＋y)(＋x)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号．
13．已知cos＝；coscos＝；
coscoscos＝；
……
根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．
答案 coscos·…·cos＝，n∈N*
解析 从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从π开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，…，可以看出分母的通项为2n＋1，等式的右边是通项为的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为coscos·…·cos＝，n∈N*.
14．(2012·福建)若函数y＝2x图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为________．
答案 1
解析 由约束条件作出其可行域如图所示：
由图可知当直线x＝m经过函数y＝2x的图像与直线x＋y－3＝0的交点P时取得最大值，即得2x＝3－x，即x＝1＝m.
15．a，b都为正实数，且＋＝1，则的最大值为________．
答案
解析 依题意得＝＋＝＋(1－)＝－()2＋＝－(－)2＋的最大值是(当－＝0，即＝，＝时取得最大值)．
16．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
答案
解析 设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且≤a，b≤，S＝a2＋b2≥2×()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知＝(1，cosx)，＝(cosx,1)，x∈[－，]，记f(x)＝cos<，>.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求cos<，>的取值范围．
答案 (1)f(x)＝ (2)≤cos<，>≤1
解析 (1)∵＝(1，cosx)，＝(cosx,1)，
∴·＝2cosx，||·||＝1＋cos2x.
∴f(x)＝cos<，>＝.
(2)∵x∈[－，]，
∴f(x)＝cos<，>＝＝，
cosx∈[，1]．∵2≤cosx＋≤，
∴≤f(x)≤1，即≤cos<，>≤1.
18．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥，
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
解析 (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.
(2)构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，从而证得：a＋a＋…＋a≥.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；
(2)当x∈(0,1]时，y＝f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤，求a的取值范围．
答案 (1)a≥3 (2)≤a≤
解析 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立．
∵f′(x)是开口向下的抛物线，
∴∴a≥3.
(2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]．
根据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，
由－3x2＋2ax≥0，得a≥x，a≥.
由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋.
又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)，
∴a≤.
综上，a的取值范围是≤a≤.
20．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解析 (1)由已知得
∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq、br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∴()2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
21．(本小题满分12分)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．
(1)求出f(n)的表达式；
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
解析 (1)第n次投入后，产量为10＋n万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元，
所以，年利润为f(n)＝(10＋n)(100－)－100n(n∈N*)．
(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)(100－)－100n＝1 000－80(＋)≤520(万元)．
当且仅当＝，即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－.
(1)若函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，求正实数a的取值范围；
(2)当a＝1时，求f(x)在[－，1]上的最大值和最小值；
(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋0)．
∵函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，
∴f′(x)≥0对任意x∈[0，＋∞)恒成立．
∴a(x＋1)－1≥0对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
即a≥对任意x∈[0，＋∞)恒成立．
而当x∈[0，＋∞)时，()max＝1，∴a≥1.
(2)当a＝1时，f′(x)＝.
∴当x∈[－，0)时，f′(x)<0，f(x)在[－，0)上单调递减．
当x∈(0,1]时，f′(x)>0，f(x)在(0,1]上单调递增．
∴f(x)在[－，1]上有唯一极小值点．
故f(x)min＝f(0)＝0.
又f(－)＝1＋ln＝1－ln2，f(1)＝－＋ln2，
∴f(－)－f(1)＝－2ln2＝
＝.
∵e3>16，
∴f(－)－f(1)>0，即f(－)>f(1)．
∴f(x)在[－，1]上的最大值为f(－)＝1－ln2.
综上，函数f(x)在[－，1]上的最大值是1－ln2，最小值是 0.
(3)法一：用数学归纳法．
①当n＝2时，要证1，显然成立．
②假设当n＝k时，不等式＋＋＋…＋1，k∈N*)成立．
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋0，则上式化为
0)．
只要证：ln(1＋x)－>0(*)．
由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)－在[0，＋∞)内是增函数．
故有f(x)≥f(0)，即ln(1＋x)≥，x∈[0，＋∞)成立．
而(*)中x＝(k>1，k∈N*)，x>0，
∴ln(1＋x)－>0，即(*)式成立．
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②知对任意n>1的正整数不等式都成立．
法二：由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)－在[0，＋∞)上是增函数．
故有f(x)≥f(0)，即ln(1＋x)≥，x∈[0，＋∞)成立．
令x＝(n∈N*)，则x>0.
∴有ln(1＋x)>，即ln>.
由此得ln>，ln>，ln>，…，ln>，
则ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，
即得lnn>＋＋＋…＋.
故对大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋a>(0.2)a B．(0.2)a>a>2a
C.a>(0.2)a>2a D．2a>(0.2)a>a
答案 B
解析 ∵a<0，∴y＝xa在(0，＋∞)为减函数，∴()a<(0.2)a，∴选B.
2．设a，b，c为△ABC的三边，则 ( )
A．a2＋b2＋c2>a＋b＋c
B．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
C．a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ac)
D．a2＋b2＋c2>2(ab＋bc＋ac)
答案 C
解析 c2＝a2＋b2－2abcosC，b2＝a2＋c2－2accosB，
a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴a2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)－2(abcosC＋accosB＋bccosA)．
∴a2＋b2＋c2＝2(abcosC＋accosB＋bccosA)<2(ab＋bc＋ac)．
3．(1)由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a，b，c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；
(2)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an＝2n－2；
(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
(4)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝256.
上述四个推理中，得出的结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
答案 (2)(3)
解析 (1)三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，且两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a·b)·c与向量a·(b·c)不一定满足，故(1)错误；
(2)由an＋1＝2an＋2，可得an＋1＋2＝2(an＋2)，故数列{an＋2}为等比数列，易求得an＝2n－2，故(2)正确；
(3)在四面体ABCD中，设点A在底面BCD上的射影是O，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故(3)正确；
(4)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝1，令x＝0，则a0＝28＝256，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28＝－255，故(4)错误．综上可知，只有(2)(3)正确．
4．已知a，b为正数，且直线2x－(b－3)y＋b＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为________．
答案 25
解析 依题意得2b－a(b－3)＝0，即＋＝1,2a＋3b＝(2a＋3b)(＋)＝13＋6(＋)≥13＋6×2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝5时取等号，因此2a＋3b的最小值是25.
5．不等式4x＋a·2x＋1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 由题可得a≥－－2x恒成立，由基本不等式可知－－2x≤－2，所以a≥－2.
6．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有________．
答案 f(2n)>(n≥2，n∈N*)
解析 由题意f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．
7．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测f(n)＝________.
答案
解析 方法一 由题意，得f(1)＝2(1－a1)＝2×[1－]＝，
f(2)＝f(1)(1－a2)＝(1－)＝，
f(3)＝f(2)(1－a3)＝(1－)＝，
由此归纳得f(n)＝.
方法二 事实上，由题意，得f(n)＝2(1－)(1－)…[1－]＝2(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1＋)(1＋)＝2××××××…××＝.
8．若不等式|a－1|≤|x＋|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 －1≤a≤3
解析 |a－1|≤2，即－1≤a≤3.
9．已知x，y满足且目标函数3x＋y的最大值为7，最小值为1，则＝________.
答案 －
解析
分别作出直线x＝1，x＋y＝4,3x＋y＝7,3x＋y＝1，
联立与
求出(，)与(1，－2)，
知两点在直线ax＋by＋c＝0上，
得c＝－a，b＝－a.
∴a＋b＋c＝－a，∴＝－.
10．设函数f(x)＝x2＋2lnx，f′(x)表示f(x)的导函数，试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′(a)]n－2n－1f′(an)≥2n(2n－2)恒成立．
解析 问题即证：2n(a＋)n－2n－1×2(an＋)≥2n(2n－2)，
也即证：(a＋)n－(an＋)≥2n－2.
用数学归纳法证明：
(ⅰ)当n＝1时，左＝0，右＝0，显然不等式成立；
(ⅱ)假设n＝k(k≥1)时，原不等式成立，
即(a＋)k－(ak＋)≥ 2k－2，
则n＝k＋1时，(a＋)k＋1－(ak＋1＋)＝(a＋)k(a＋)－(ak＋1＋)
≥[(2k－2)＋ak＋](a＋)－(ak＋1＋)
＝(2k－2)(a＋)＋(ak－1＋)
≥(2k－2)×2＋2＝2k＋1－2.
这就是说，n＝k＋1时原不等式也成立．
综上所述：对任意正数a和正整数n，[f′(a)]n－2n－1f′(an)≥2n(2n－2)恒成立．
11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解析 (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n
?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋
＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－.
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