第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．已知三个命题：①若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内， 则P、A、B、C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
3.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 ( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线 ( )
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是 ( )
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
6．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为 ( )[来源: ]
A. B.
C．2 D.
二、填空题
7．如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．
8．下列命题中正确的是________．
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；
④若a不平行于平面α，且a?α，则α内的所有直线与a异面．
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
三、解答题
10．如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．
11.如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．
12．如图所示，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．
求证：O1、M、A三点共线．[来源:]
[来源: ]
详解答案
一、选择题
1．解析：当A、B、C三点都在平面α内，且三点共线时，P、A、B、C四点在同一个平面内，故①错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故②错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故③错误．
答案：A
2. 解析：∵AB?γ，M∈AB，
∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，
∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
答案：D
3. 解析：依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN?平面ACD，且平面ACD∩平面ABC＝AC，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.
答案：C
4．解析：在EF上任取一点M.直线CD与点M确定的平面与直线A1D1交于点N，则直线MN与三条直线都相交，由点M的任意性可知这样的直线有无数条．
答案：D
5．解析：由于两相交直线可确定一个平面，设l过M点，与AB、B1C1均相交，则l与AB可确定平面α，l与B1C1可确定平面β，又AB与B1C1为异面直线，
∴l为平面α与平面β的交线，如图所示．
GE即为l，故①正确．
由于DD1过点M，DD1⊥AB，DD1⊥B1C1，BB1为AB、B1C1的公垂线，DD1∥BB1，故②正确．
显然④正确．
过M点有无数个平面与AB、B1C1都相交，故③错误．
答案：C
6．解析：如图
连接OE，则OE∥BC，∠AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或补角)，设正方形边长为2，则OE＝1，AO＝，在Rt△AOE中，tan∠AEO＝＝.
答案：A
二、填空题
7．解析：①③中，GM∥HN，所以G、M、N、H四点共面，从而GH与MN共面；
②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH与MN异面．
答案：②④
8．解析：在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，即P、Q、R三点共线，所以①正确；
在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l?α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确；
在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错；
在④中，由题设知，a和α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错．
答案：①②
9．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与BC所成的角即为AD与AE所成的角，即是∠EAD.连接DE，在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，tan∠EAD＝＝，cos∠EAD＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题
10．解：如图，取BB1的中点M，连接A1M、MF.
∵M、F分别是BB1、CC1的中点，
∴MF綊B1C1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1綊B1C1，[来源: ]
∴MF綊A1D1.
∴四边形A1MFD1是平行四边形，
∴A1M綊D1F.
又E、M分别是AA1、BB1的中点，[来源: ]
∴A1E綊BM，
∴四边形A1EBM为平行四边形．∴EB綊A1M.
∴EB綊D1F.
∴四边形EBFD1是平行四边形．
又Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE＝BF，∴四边形EBFD1为菱形．
11. 证明：连结C1B，HE，FG，由题意知HC1綊EB，∴四边形HC1BE是平行四边形．∴HE∥C1B.
又C1G＝GC＝CF＝BF，
故GF綊C1B，
∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交．
设交点为K，
则K∈HG，
HG?平面D1C1CD，
∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF?平面ABCD，∴K∈平面ABCD.
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，
∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点．
12．证明：∵A1C1∩B1D1＝O1，B1D1?平面B1D1A，A1C1?平面AA1C1C.
∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.
∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C?平面AA1C1C，
∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C，
又∵A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，
∴O1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．
【点此下载】