第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.已知三个命题:①若点P不在平面α内,A、B、C三点都在平面α内, 则P、A、B、C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C?l,直线AB∩l=M,过A、B、C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过 ( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
3.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为 ( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线 ( )
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
5.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.
其中真命题是 ( )
A.②③④ B.①③④
C.①②④ D.①②③
6.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD的中点,则异面直线AE、BC所成角的正切值为 ( )[来源: ]
A. B.
C.2 D.
二、填空题
7.如图,G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.
8.下列命题中正确的是________.
①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交平面α于P、Q、R,则P、Q、R三点共线;
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点,则这四条直线共面;
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面;
④若a不平行于平面α,且a?α,则α内的所有直线与a异面.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.
三、解答题
10.如图所示,已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点.试判断四边形EBFD1的形状.
11.如图,已知:E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点,证明:FE、HG、DC三线共点.
12.如图所示,O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点.
求证:O1、M、A三点共线.[来源:]
[来源: ]
详解答案
一、选择题
1.解析:当A、B、C三点都在平面α内,且三点共线时,P、A、B、C四点在同一个平面内,故①错误;三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内,故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形,故③错误.
答案:A
2. 解析:∵AB?γ,M∈AB,
∴M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,
∴M∈β.
根据公理3可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
答案:D
3. 解析:依题意得MN∥PQ,MN∥平面ABC,又MN?平面ACD,且平面ACD∩平面ABC=AC,因此有MN∥AC,AC∥平面MNPQ.同理,BD∥PN.又截面MNPQ是正方形,因此有AC⊥BD,直线PM与BD所成的角是45°.
答案:C
4.解析:在EF上任取一点M.直线CD与点M确定的平面与直线A1D1交于点N,则直线MN与三条直线都相交,由点M的任意性可知这样的直线有无数条.
答案:D
5.解析:由于两相交直线可确定一个平面,设l过M点,与AB、B1C1均相交,则l与AB可确定平面α,l与B1C1可确定平面β,又AB与B1C1为异面直线,
∴l为平面α与平面β的交线,如图所示.
GE即为l,故①正确.
由于DD1过点M,DD1⊥AB,DD1⊥B1C1,BB1为AB、B1C1的公垂线,DD1∥BB1,故②正确.
显然④正确.
过M点有无数个平面与AB、B1C1都相交,故③错误.
答案:C
6.解析:如图
连接OE,则OE∥BC,∠AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或补角),设正方形边长为2,则OE=1,AO=,在Rt△AOE中,tan∠AEO==.
答案:A
二、填空题
7.解析:①③中,GM∥HN,所以G、M、N、H四点共面,从而GH与MN共面;
②④中,根据异面直线的判定定理,易知GH与MN异面.
答案:②④
8.解析:在①中,因为P、Q、R三点既在平面ABC上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上,即P、Q、R三点共线,所以①正确;
在②中,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α,而l上有A、B两点在该平面上,所以l?α,即a、b、l三线共面于α;同理a、c、l三线也共面,不妨设为β,而α、β有两条公共的直线a、l,所以α与β重合,即这些直线共面,所以②正确;
在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以③错;
在④中,由题设知,a和α相交,设a∩α=P,如图,在α内过点P的直线l与a共面,所以④错.
答案:①②
9.解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,所以AE与BC所成的角即为AD与AE所成的角,即是∠EAD.连接DE,在Rt△ADE中,设AD=a,则DE=a,tan∠EAD==,cos∠EAD=,所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
答案:
三、解答题
10.解:如图,取BB1的中点M,连接A1M、MF.
∵M、F分别是BB1、CC1的中点,
∴MF綊B1C1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有A1D1綊B1C1,[来源: ]
∴MF綊A1D1.
∴四边形A1MFD1是平行四边形,
∴A1M綊D1F.
又E、M分别是AA1、BB1的中点,[来源: ]
∴A1E綊BM,
∴四边形A1EBM为平行四边形.∴EB綊A1M.
∴EB綊D1F.
∴四边形EBFD1是平行四边形.
又Rt△EAB≌Rt△FCB,
∴BE=BF,∴四边形EBFD1为菱形.
11. 证明:连结C1B,HE,FG,由题意知HC1綊EB,∴四边形HC1BE是平行四边形.∴HE∥C1B.
又C1G=GC=CF=BF,
故GF綊C1B,
∴GF∥HE,且GF≠HE,
∴HG与EF相交.
设交点为K,
则K∈HG,
HG?平面D1C1CD,
∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF,EF?平面ABCD,∴K∈平面ABCD.
∵平面D1C1CD∩平面ABCD=DC,
∴K∈DC,∴FE、HG、DC三线共点.
12.证明:∵A1C1∩B1D1=O1,B1D1?平面B1D1A,A1C1?平面AA1C1C.
∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C.
∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C?平面AA1C1C,
∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C,
又∵A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C,
∴O1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上,由公理3可知O1、M、A三点共线.
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