第七章 第四节 直线、平面直线的判定及性质
一、选择题
1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 ( )[来源: ]
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-FED的体积有最大值．
A．① B．①②
C．①②③ D．②③
3．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n?γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.
可以填入的条件有 ( )
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或②或③
4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是 ( )
A．③④ B．①③
C．②③ D．①②
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：
①若m?α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
其中真命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．0
6．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线 ( )
A．只有1条 B．只有2条
C．只有4条 D．有无数条
二、填空题
7．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
③若α∥β，l∥α，则l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
9．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α；
④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.
求证：EF∥平面ABCD.
11.如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1) E、F、G、H共面；
(2)平面EFGH∥平面α.
[来源:]
12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
详解答案
一、选择题
1．解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．
答案：D
2. 解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，
∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-FED的体积达到最大．
答案：C
3．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
答案：C
4．解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．
答案：C
5．解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n可在平面内；
答案：D
6．解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．
答案：A
二、填空题
7．解析：当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l∥α，则l?β或l∥β，③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又α∥β，∴m⊥β，④正确，故填②④.
答案：②④
8．解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.
答案：
9．解析：①如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．
答案：②③
三、解答题
10. 证明：分别过E、F作EM∥BB1，FN∥CC1，分别交AB、BC于点M、N，连结MN.
因为BB1∥CC1，
所以EM∥FN.
因为B1E＝C1F，AB1＝BC1，
所以AE＝BF.
由EM∥BB1得＝，
由FN∥CC1得＝.
所以EM＝FN，于是四边形EFNM是平行四边形．
所以EF∥MN.又因为MN?平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.[来源: ]
11. 证明：(1)∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD.
同理，FG∥BD且FG＝BD，
∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H共面．
(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，
设两平面交于过点A的直线AD′.
∵α∥β，∴AD′∥BD.
又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.
∴EH∥平面α，[来源: ]
同理，EF∥平面α，
又EH∩EF＝E，EH?平面EFGH，
EF?平面EFGH，
∴平面EFGH∥平面α.
12．证明：存在．证明如下：取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD.
设BD∩AC＝O.
连接BF，MF，BM，OE.
[来源: ]
∵PE∶ED＝2∶1，F为PC的中点，M是PE的中点，E是MD的中点，
∴MF∥EC，BM∥OE.
∵MF?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.
∵MF∩BM＝M，
∴平面BMF∥平面AEC.
又BF?平面BMF，
∴BF∥平面AEC.
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