第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质
一、选择题
1．给出以下命题，其中错误的是 ( )
A．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B．垂直于同一平面的两条直线互相平行
C．垂直于同一直线的两个平面互相平行[来源:]
D．两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
3．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
4．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个[来源:]
5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是 ( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有 ( )
A．DP⊥平面PEF B．DM⊥平面PEF
C．PM⊥平面DEF D．PF⊥平面DEF
二、填空题
7．已知直线l，m，n，平面α，m?α，n?α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)
8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
三、解答题
10.三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，
∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.
11.如图，三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，
∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.
12．如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD＝CD＝AB，且O为AB的中点．
(1)求证：BC∥平面POD；
(2)求证：AC⊥PD.
[来源: ]
详解答案
一、选择题
1．解析：一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面．
答案：A
2．解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B正确．
答案：B
3．解析：对于A，由m?β，α⊥β显然不能得知m⊥α；对于B，由条件也不能确定α∥β；对于C，由m∥α得，在平面α上必存在直线l∥m.又m⊥β，因此l⊥β，且l?α，故α⊥β；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，因此D也不正确．
答案：C
4．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命题为真命题，故选C.
答案：C
5．解析：对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．
答案：C
6．解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，
∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP.
又EP∩FP＝P，
∴DP⊥平面PEF.
答案：A
二、填空题
7．解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.
答案：充分不必要
8．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，
易知AC⊥EF，
又GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD.
∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，
∴AC⊥平面EFG.
故点P的轨迹是△EFG，其周长为＋.
答案：＋
9．解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，
得＝，即＝，
整理得x2－3ax＋2a2＝0，
解得x＝a或x＝2a.
答案：a或2a
三、解答题
10. 证明：∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝2.
设AD＝x，则BD＝2－x，
∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2－x)2，
A1E2＝(2)2＋1.
∵∠A1DE＝90°，
∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝.
∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.
又AA1⊥CD且AA1∩AB＝A，
∴CD⊥平面A1ABB1.
11. 解：(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，AB＝tan 60°＝.
∴AC＝＝.[来源: ]
由AB2＝AE·AC，得AE＝.
∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
12．证明：(1)因为O为AB的中点，所以BO＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，
所以有CD＝BO，CD∥BO，
所以四边形ODCB为平行四边形，所以BC∥OD，
又DO?平面POD，BC?平面POD，
所以BC∥平面POD.
(2)连接OC.
因为CD＝BO＝AO，CD∥AO，所以四边形ADCO为平行四边形，
又AD＝CD，所以ADCO为菱形，
所以AC⊥DO，
因为△PAB为正三角形，O为AB的中点，
所以PO⊥AB，
又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，
所以PO⊥平面ABCD，
而AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO＝O，所以AC⊥平面POD.
又PD?平面POD，所以AC⊥PD.
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