第七章 第一节 空间几何体的结构特及三视图和直观图
一、选择题
1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( )
A．20 B．15
C．12 D．10
2.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ( )
A．6 B．8
C．2＋3 D．2＋2
3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 ( )
A．6 B．6π
C．3π D．6π
4.如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是 ( )
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
5．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则下列图形：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．不可能是其俯视图的有 ( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
6．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为 ( )
[来源:]
二、填空题
7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：
①四边形BFD1E有可能为梯形；
②四边形BFD1E有可能为菱形；
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；
⑤四边形BFD1E面积的最小值为.
其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号)
8．一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由________个这样的小正方体组成．
9．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
三、解答题
10．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
[来源: ]
11．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．
12．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；[来源:]
(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．
[来源: ]
详解答案
一、选择题
1．解析：如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1、AD1，同理从B、C、D、E点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．
答案：D[来源:]
2. 解析：根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝2，OA＝1，
∴AB＝3，所以周长为8.
答案：B
3．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面半径分别是1、2，圆台的高是2，故其母线长为＝，其侧面积等于π(1＋2)＝3π.
答案：C
4. 解析：根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．
答案：D
5．解析：根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，该几何体的三视图不可能是圆和正方形．
答案：B
6．解析：由正视图和俯视图画出如图所示的直观图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，故其侧视图是一直角三角形，其一条直角边为PA，另一条直角边长为B到AC的距离.
答案：B
二、填空题
7．解析：四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为.
答案：②③④⑤
8．解析：依题意可知这个几何体最多可由9＋2＋2＝13个这样的小正方体组成．
答案：13
9．解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.
答案：2
三、解答题
10．解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中高OS＝，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，
OA＝＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高．
在Rt△SOE中，
∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即侧面上的斜高为.
11．解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C＝，则它的正视图投影长为A1B＝，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋()2＝2·()2，即a2＋b2＝8，
又≤ ，当且仅当“a＝b＝2”时等式成立．
∴a＋b≤4.
即a＋b的最大值为4.
12．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
(2)该几何体的侧视图，如图：
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，则AD＝a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝×a×a＝a2.
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