(对应学生用书P291 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．下列推理错误的是 ( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线?α与β重合
解析 C 当l?α，A∈l时，可能有A∈α.
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b ( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析 C 若b∥c，由已知c∥a，所以a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行．
3．下列命题正确的是 ( )
A．若a?α，b?β，则直线a，b为异面直线
B．若a?α，b?α，则直线a，b为异面直线
C．若a∩b＝?，则直线a，b为异面直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
解析 D A、B、C三选项中直线a，b可以平行，均错，故选D.
4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 ( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析 C ∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，
∵MN在平面ADC中，∴PQ∥平面ADC.
又∵PQ在平面ABC中，且平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴PQ∥AC，同理BD∥MQ，
∴AC⊥BD，AC∥截面PQMN.
异面直线PM与BD所成的角为45°.故选C.
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 ( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析 D 如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE.
同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.
∴截面为六边形PQFGRE.
6．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于
点M，则下列结论正确的是 ( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析 A 连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C?平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．下列命题中，不正确的是________．
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它不可能和另一条直线平行；
④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．
解析 ①中的直线可能平行；②中两直线也可能相交；③④正确．
【答案】 ①②
8．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是________．
解析 a与c不能平行，故两直线异面或相交．
【答案】 异面或相交
9.
如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析 还原成正四面体后GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
【答案】 ②③④
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．
解析 连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形．
又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．
11．(12分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面BDEF于R点，试确定R点的位置．
解析 正方体AC1中，
∵Q∈A1C1，
∴Q∈平面A1C1CA，又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，
即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，
同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．
∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ，
又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，
∴R∈平面A1C1CA，R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点．
12．(16分)设A是平面BCD外的一点，E、F分别是BC、AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
解析 (1)用反证法．
设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，
∴DF与BE共面，即AD与BC共面，
∴A、B、C、D在同一平面内，这与A是平面BCD外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．
(2)如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，
∴相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角．
∵AC⊥BD，AC＝BD，
∴EG⊥FG，EG＝FG.
在Rt△EGF中，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
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