(对应学生用书P287 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 C 直线l与平面α内两条相交直线都垂直是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．
2．(2013·惠州调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m?α，n?β，m⊥n，则n⊥α
C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
解析 C 由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确．
3．已知三个不同的平面α，β，γ，下列命题正确的是 ( )
A．若α，β，γ两两相交，则有三条交线
B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
C．若α⊥γ，β∩α＝a，β∩γ＝b，则a⊥b
D．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
解析 D A中三个平面两两相交，可以只有一条交线，A错；B中垂直于同一个平面的两个平面也可能相交，B错；C中a与b可能平行，也可能垂直，C错；D正确．
4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法正确的是 ( )
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
解析 B 在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．
5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
C．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β
D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c
解析 C α⊥β，b?α，b不一定垂直于β.故C错误．
6．(2011·辽宁高考)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 D 易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同，C正确；AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等，D不正确．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
解析 若m⊥α，α∥β，则m⊥β，故填②④.
【答案】 ②④
8．(2013·西安模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
解析
如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.
【答案】 3
9．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
解析 ②中，n可能在β中，故②错；③中，n也可能在β中，故③错．
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
解析
∵平面PAC⊥平面PBC，作AD⊥PC，垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：
AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
则BC⊥AD，又PA⊥平面ABC，
则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AC.
11．(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
解析 (1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC, ∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
12．(16分)(2013·无锡模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小．
解析 (1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.
又PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
又AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)设AC与BD的交点为O，连接OE，
则O为BD的中点．
又E是PB的中点，
在△PBD中，则OE∥PD且OE＝PD.
由(1)知AC⊥平面PDB，
∴AO⊥平面PDB，
∴∠AEO即为AE与平面PDB所成的角．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝AB.
又PD＝AB，OE＝PD，
∴OE＝AB.
又PD⊥平面ABCD，OE∥PD，
∴OE⊥平面ABCD.
在Rt△AOE中，OE＝OA，
∴∠AEO＝45°，
∴AE与平面PDB所成的角为45°.
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