第三讲 平面
一、知识回顾
知识点 1:平面(plane)是平的;平面是可以无限延展的;平面没有厚薄之分.
知识点2:通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母来表示,也可以用平行四边形的四个顶点来表示,还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面,平面,平面等.
规定:①画平行四边形,锐角画成°,横边长等于其邻边长的2倍;②两个平面相交时,画出交线,被遮挡部分用虚线画出来;③用希腊字母表示平面时,字母标注在锐角内.
知识点3:⑴点在平面内,记作;点在平面外,记作.⑵点在直线上,记作,点在直线外,记作.⑶直线上所有点都在平面内,则直线在平面内(平面经过直线),记作;否则直线就在平面外,记作.
知识点4:公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为: 且
知识点5:公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面..
知识点6:公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 平面与平面相交于直线,记作.公理3表示为且,且
二、典型例题
例1、如图在正方体中,判断下列命题是否正确,并说明理由:
⑴直线在平面内;
⑵设上下底面中心为,则平面与平面的交线为;
⑶点可以确定一平面;
⑷平面与平面重合.
例2、在平面外,,,,求证:,,三点共线.
小结:证明点共线的基本方法有两种⑴找出两个面的交线,证明若干点都是这两个平面的公共点,由公理3可推知这些点都在交线上,即证若干点共线.⑵选择其中两点确定一条直线,证明另外一些点也都在这条直线上.
例3、两个平面不重合,在一个面内取4点,另一个面内取3点,这些点最多能够确定平面_____个.
例4、空间四边形中,,分别是和上的点,,分别是和上的点,且相交于点.求证:,,三条直线相交于同一点.
小结:证明三线共点的基本方法为:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线
所在平面的公共点,第三条直线是两个平面的交线,由公理3得证这三线共点.
三、课堂练习
1. 下列结论正确的是( ).
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线,可以确定一个平面
③经过两条平行直线,可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面
A.个 B.个 C.个 D.个
2. 如图在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定( ).
A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.都不对
3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?
4. 直线∥,在上取3个点,在上取2个点,由这5个点确定的平面个数为( ).
A.1个 B.3个 C.6个 D.9个
5. 下列推理错误的是( ).
A.,,,
B.,,,
C.,
D.,,, ,,,且,,不共线
四、总结提升
1. 平面的特征、画法、表示;
2. 平面的基本性质(三个公理);
平面的三个公理,公理用来判断直线或者点是否在平面内;公理用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题.
3. 用符号表示点、线、面的关系.
五、课后作业
1.如图在正方体中,是顶点,都是棱的中点,请作出经过三点的平面与正方体的截面.[]
2.在正方体中,,分别为、的中点,求证:,,三线交于一点.
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