第2讲 导数在研究函数中的应用  A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.(2012·长春名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是 (　　)． A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d) 解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C. 答案　C 2．(2013·西安模拟)若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 (　　)． A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2] 解析　由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)． 答案　A 3．(2012·青岛模拟)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是 (　　)． A．－2 B．0 C．2 D．4 解析　f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2. ∴f(x)在[－1，0)上是增函数，f(x)在(0，1]上是减函数． ∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2. 答案　C 4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 (　　)． A．(－1，2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3，6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6. 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________． 解析　由f′(x)＝＝0， ∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值， ∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3. 答案　3 6．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 解析　f′(x)＝ex－2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0. ∴f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a， 则函数有零点，即f(x)min≤0. ∴2－2ln 2＋a≤0，∴a≤2ln 2－2. 答案　(－∞，2ln 2－2] 三、解答题(共25分) 7．(12分)已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行． (1)用关于m的代数式表示n； (2)求函数f(x)的单调增区间． 解　(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx， 又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2， ∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0， 当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得00时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0，2)． 8．(13分)(2013·浙江五校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1，2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值． (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间． 解　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题易知，即解得 (2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， ∵当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0； 当x∈(1，2]时，f′(x)＞0. ∴f(x)的单调递增区间为和(1，2]．B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2013·蚌埠质检)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 (　　)． A．[1，＋∞) B. C．[1，2) D. 解析　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.据题意得解得1≤k<.故选B. 答案　B 2．(2012·全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝ (　　)． A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 解析　∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)  y′ ＋  －  ＋  y  c＋2  c－2   因此，当函数图像与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 解析　f′(x)＝＝. 当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当－0，f(x)单调递增； 当<1时，则f(x)在[1，＋∞)单调递减． 则f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. 当>1时，则f(x)在[1，]单调递增， 在[a，＋∞)单调递减． 所以f(x)max＝f()＝＝，a＝<1，不合题意舍去，所以a＝－1. 答案　－1 4．(2013·深圳调研)设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a. ∴f′(x)＝－ax＋a－1＝. ①若a≥0， 当00，此时f(x)单调递增； 当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减； 所以x＝1是f(x)的极大值点． ②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－. 因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1， 解得－1－1. 答案　(－1，＋∞) 三、解答题(共25分) 5．(12分)(2012·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值． 解　(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， 故有即 化简得解得 (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12. 令f′(x)＝0，得x＝－2或2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2，2)上为减函数； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12， 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4. 6．(13分)(2012·富阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)． (1)当a＝3时，求函数f(x)在上的最大值和最小值； (2)当函数f(x)在上单调时，求a的取值范围． 解　(1)a＝3时，f′(x)＝－2x＋3－＝－＝ －，函数f(x)在区间上仅有极大值点x＝1，故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2. 又f(2)－f＝(2－ln 2)－＝－2ln 2<0， 故f(2)
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