第3讲 导数的综合应用
A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时 ( ).
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
解析 由题意知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.当x>0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x<0时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即f′(x)>0,g′(x)<0.
答案 B
2.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 ( ).
A.12 cm3 B.72 cm3 C.144 cm3 D.160 cm3
解析 设盒子容积为y cm3,盒子的高为x cm,则x∈(0,5).
则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160 x,
∴y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或(舍去),
∴ymax=6×12×2=144 (cm3).
答案 C
3.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是 ( ).
A.(-∞,7] B.(-∞,-20]
C.(-∞,0] D.[-12,7]
解析 令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0,得x=-1或x=3(舍去).∵f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.∴f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20,可知应选B.
答案 B
4.(2012·新余模拟)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为 ( ).
A.{x|x>0} B.{x|x<0}
C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或0ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.
解析 令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.
答案 (-2,2)
6.(2013·泰州调研)若函数f(x)=x+asin x在R上递增,则实数a的取值范围为________.
解析 ∵f′(x)=1+acos x,∴要使函数f(x)=x+asin x在R上递增,则1+acos x≥0对任意实数x都成立.
∵-1≤cos x≤1,
①当a>0时,-a≤acos x≤a,∴-a≥-1,∴00,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值;
(3)若f(x)0或f′(x)<0→确定单调性.
(2)根据单调性→求f(x)在[1,e]上的最小值→列方程求解.
(3)f(x)xln x-x3→求xln x-x3的最大值.
解 (1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=+=.
∵a>0,∴f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,
即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=-a=,
∴a=-(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,
即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-=,
∴a=-(舍去).
③若-e0,
∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,
∴a=-.
综上所述,a=-.
(3)∵f(x)0,∴a>xln x-x3.
令g(x)=xln x-x3,
h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,
h′(x)=-6x=.
∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴h(x)
f(x)g′(x),且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),+=.若数列的前n项和大于62,则n的最小值为 ( ).
A.8 B.7 C.6 D.9
解析 构造函数h(x)==ax,由已知条件可知h′(x)=>0,则h(x)在R上为增函数,得a>1,又a+a-1=,解得a=2或a=(舍去).
所以=2n,其前n项和Sn=2+22+…+2n=2n+1-2,由2n+1-2>62,解得2n+1>26,∴n>5,故n的最小值为6,选C.
答案 C
2.(2013·合肥模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则a2+b2的取值范围是 ( ).
A. B.
C. D.
解析 由题意得f′(x)=3x2+2ax+b,f′(x)≤0在x∈(-1,0)上恒成立,即3x2+2ax+b≤0在x∈(-1,0)上恒成立,
∴∴a,b所满足的可行域如图中的阴影部分所示.则点O到直线2a-b-3=0的距离d=,∴a2+b2≥d2=,∴a2+b2的取值范围为.
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2013·上饶模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.
解析 (构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,
所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4.
当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.
g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.
答案 4
4.将边长为1 m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是________.
解析 如图所示,设AD=x m(0<x<1),则DE=AD=x m,
∴梯形的周长为x+2(1-x)+1=3-x (m),又S△ADE=x2(m2),
∴梯形的面积为-x2(m2),
∴s=×(0<x<1),
∴s′=×,令s′=0,得x=或3(舍去),当x∈时,s′<0,s递减;当x∈时,s′>0,s递增.故当x=时,s的最小值是.
答案
三、解答题(共25分)
5.(12分)(2013·温州五校联考)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
解 (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,
即解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x.
(2)由(1)知f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,
∴点A(1,m)(m≠-2)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x-3x0.
∵f′(x0)=3(x-1),
∴切线的斜率为3(x-1)=,
整理得2x-3x+m+3=0.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0的方程2x-3x+m+3=0有三个实根.
设g(x0)=2x-3x+m+3,则g′(x0)=6x-6x0,
由g′(x0)=0,得x0=0或1.
∴g(x0)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)=2x-3x+m+3的极值点为x0=0和1.
∴关于x0的方程2x-3x+m+3=0有三个实根的充要条件是解得-31.
(1)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=-3有四个零点,求b的取值范围;
(3)若对于任意的x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,求a的取值范围.
(1)证明 ∵F(x)=f(x)-g(x)=ax+x2-xln a,
∴F′(x)=ax·ln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x.
∵a>1,x>0,∴ax-1>0,ln a>0,2x>0,
∴当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,即函数F(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)解 由(1)知当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,
∴F(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
∴F(x)取得最小值为F(0)=1.
由-3=0,
得F(x)=b-+3或F(x)=b--3,
∴要使函数y=-3有四个零点,只需
即b->4,即>0,
解得b>2+或2-0),
则H′(x)=1+-==>0,
∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵a>1,∴H(a)>H(1)=0.∴F(1)>F(-1).
∴|F(x2)-F(x1)|的最大值为|F(1)-F(0)|=a-ln a,
∴要使|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,
只需a-ln a≤e2-2即可.
令h(a)=a-ln a(a>1),h′(a)=1->0,
∴h(a)在(1,+∞)上单调递增.
∵h(e2)=e2-2,∴只需h(a)≤h(e2),即1
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