易失分点清零(四) 导数及其应用
1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为 ( )．
A．3 B．－3 C．5 D．－5
解析 ∵点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.
∴2＝f′(1)＝3×12＋a×1?a＝－1.∴f(x)＝x3－x＋b.
∵点(1,3)在曲线上，∴b＝3.故选A.
答案 A
2．(2013·泰安一中月考)dx＝ ( )．
A．ln x＋ln2x B.－1
C. D.
解析 dx＝＝.
答案 C
3．(2013·广州模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是 ( )．
解析 若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－＞0，且开口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a，∴f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故答案选D.
答案 D
4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于 ( )．
A．0 B．－4 C．－2 D．2
解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案 B
5．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在内不是凸函数的是 ( )．
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x
解析 A选项中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－(sin x＋cos x)，当x∈时，f″(x)<0，故f(x)在内是凸函数；同理可得选项B和选项C中的函数在内是凸函数；对D选项，f′(x)＝－e－x＋xe－x＝e－x(x－1)，f″(x)＝e－x－(x－1)e－x＝e－x(2－x)，当x∈时，f″(x)>0，故f(x)＝－xe－x在内不是凸函数．
答案 D
6．(2011·福建)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 ( )．
A．2 B．3 C．6 D．9
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．
答案 D
7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则 ( )．
A．a≤0 B．a<1 C．a<0 D．a≤1
解析 f′(x)＝3ax2－1，若a＝0，则f′(x)＝－1<0，f(x)在R上为减函数若a≠0，由已知条件即解得a<0.综上可知a≤0.
答案 A
8．若函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝ln x，则函数f(x)在(1,0)点处的切线斜率为
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 因为2f(x)＋f＝ln x，所以2f＋f(x)＝－ln x，故f(x)＝ln x，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.
答案 A
9．(2013·济宁一中月考)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为 ( )．
A．1 B. C. D.
解析 由已知y′＝2x－，令2x－＝1，解得x＝1.曲线y＝x2－ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝＝.
答案 B
10．幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝g(x)ln f(x)，两边求导数得＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)·.运用此法可以探求得知y＝x的一个单调递增区间为 ( )．
A．(0,2) B．(2,3) C．(e,4) D．(3,8)
解析 将函数y＝x两边求对数得ln y＝ln x，两边求导数得＝－ln x＋·＝(1－ln x)，所以y′＝y·(1－ln x)＝x·(1－ln x)．令y′>0?1－ln x>0?00)的导函数，当x∈[－2,2]时，|f′(x)|≤7恒成立，则f(x)＝________.
解析 由f(x)＝ax3＋(3－a)x2－7x＋5(a>0)可得f′(x)＝ax2＋2(3－a)x－7，因为f′(x)＝ax2＋2(3－a)x－7是开口向上的抛物线且f′(0)＝－7，所以要使x∈[－2,2]时，|f′(x)|≤7恒成立，只要f′(x)的对称轴为y轴且即可，所以对称轴－＝＝0，可得a＝3，经检验满足题意，则f(x)＝x3－7x＋5.
答案 x3－7x＋5
15．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．
解析 阴影部分的面积S＝＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P＝＝＝.
答案
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