第三章 第八节 解三角形应用举例
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
3．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．2 km B．3 km
C．3 km D．2 km
4．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 B．35 海里
C．35 海里 D．70海里
5.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
A．5海里 B．5 海里[来源:]
C．10海里 D．10 海里
二、填空题
7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.
8．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.
9．据新华社报道，2011年8月，飓风“艾琳”在美国东海岸登陆．飓风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．
三、解答题
10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
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11.为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB＝15米，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？
[来源: ][来源: ]
12．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
详解答案：
1．解析：cos A＝sin(－A)>sin B，－A，B都是锐角，则－A>B，A＋B<，C>.
答案：C
2．解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×(－)＝3a2，
∴AB＝a.
答案：B
3．解析：如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，
所以BS＝sin 30°＝3.
答案：B
解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，
EF＝
＝＝70.
答案：D
5．解析：∠B＝180°－∠ACB－∠CAB＝30°
由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．
答案：A
6．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．
答案：C
7．解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．
答案：5
8．解析：S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
∴cos C＝＝－，sin C＝，
∴tan C＝－＝－2.
答案：－2
9．解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则
∠ABO＝45°，
∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．
答案：
10．解：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，
由正弦定理，得BC＝＝20；
在Rt△ABC中，AB＝BCsin 60°＝20×＝30(米)．
所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．
11．解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，
由正弦定理得：＝，
解得AC＝15米．
又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15，
sin 105°＝sin(45°＋60°)＝.
由正弦定理得：＝，
解得BC＝米．
由勾股定理可得BD＝
＝15米，
综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为30米，15米．
12．解：1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．
在△AOB中，A＝90°－30°＝60°
∴S＝
＝＝ .
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[来源: ]
(2)由题意可知OB＝vt
在△AOB中利用余弦定理得：
v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos 60°
故v2＝900－＋
∵0＜v≤30，∴900－＋≤900.
即－≤0，解得t≥，又t＝时，v＝30(海里/小时)，
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
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