(对应学生用书P331 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．如图，为了测量障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据．为了简便，测量时应当用数据 ( )
A．α，a，b
B．α，β，γ
C．a，b，γ
D．a，b，β
解析 C 测得a，b，γ后，由余弦定理即可计算A、B间的距离．
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为
( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析 B 由仰角和俯角的定义知，α与β为夹在两水平线之间的内错角关系，故α＝β.
3．(2013·池州模拟)一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 ( )
A．5海里 B．5 海里
C．10海里 D．10 海里
解析 C
如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，所以这艘船的速度是＝10(海里/小时)．
4.
如图所示，B、C、D在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D、C两地测得A的仰角分别为30°、45°，则点A距地面的距离等于 ( )
A．10 m B．5 m
C．5(－1) m D．5(＋1) m
解析 D 设点A距地面的距离等于x，则BC＝x，AC＝x，在△ADC中，由正弦定理得＝，解得x＝5(＋1)．
5.
如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 ( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析 B 易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
6．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB为 ( )
A. m
B. m
C. m
D. m
解析 A 由已知：在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan ∠OAC＝200tan 30°＝.在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°，BD＝AD·tan ∠BAD＝tan 30°＝.又∵DC＝OA＝200，
∴CB＝DC－BD＝200－＝.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是 海里．
解析 由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)．
【答案】 5
8．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角．树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为 ．
解析 如图，AB＝10，AC＝5，树干原高为AB＋AC＝(10＋5)m.
【答案】 (10＋5) m
9．(2013·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取 方向才能追上乙船．
解析
如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙船到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝vt，AC＝vt，B＝120°.由正弦定理知＝，
∴＝，∴sin∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，故甲船应取北偏东30°方向．
【答案】 北偏东30°
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．
解析
如图所示，
在△ACD中，
∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝
(千米)，
在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理得，BC＝＝(千米)．
在△ABC中，由余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠BCA，
即AB2＝()2＋2－2·cos 75°＝5.
∴AB＝(千米)．
所以两目标A、B间的距离为千米．
11．(12分)以40 km/h的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3 min后气球上升到1 km处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．
解析 如图，船从A航行到C处，气球飘到D处．
由题知，BD＝1 km，AC＝2 km.
∵∠BCD＝30°，
∴BC＝ km.
设AB＝x km，
∵∠BAC＝90°－30°＝60°，
∴由余弦定理得
22＋x2－2×2xcos 60°＝()2，
∴x2－2x＋1＝0，
∴x＝1.
∴气球水平飘移速度为＝20 km/h.
12.
(16分)2011年8月6日，台风“梅花”袭击我国沿海地区．为了减少强飓风带来的灾难，浙江、上海等各地的海上救援队随时待命做好救援准备．如图，已知信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援．
(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间(≈2.646，结果保留两位小数)；
(2)求tan θ的值．
解析 (1)在△ABC中，AB＝80，AC＝40，∠BAC＝120°，由余弦定理可知：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°，
即BC2＝802＋402－2×80×40×＝11 200，
故BC＝40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40÷60＝≈1.76(小时)．
(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝，
即sin ∠ACB＝sin ∠BAC＝，
显然∠ACB为锐角，故cos ∠ACB＝，tan ∠ACB＝，
而θ＝∠ACB＋30°，
故tan θ＝tan(∠ACB＋30°)＝＝.
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