第十二讲 平面向量应用举例 一、典型例题 例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边
的平方和． 已知：平行四边形ABCD． 求证：
． 变式训练：
中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
BF与CD交于点O，设
（1）证明A、O、E三点共线； （2）用
表示向量
。 例2，如图，平行四边形ABCD中，
点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、B
F分别与AC交于R、T两点，你能发现A
R、RT、TC之间的关系吗？ 例3．
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？ 如图：⑴

为何值时，|F1|最小，最小值是
多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？ 例4如图，一条
河的两岸平
行，河的宽度
m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最
短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？ 二、课堂练习 1.给出下面四个
结论：其中正确的结论有 （
） 若线段AC=AB+BC，则向量
； 若向量
，则线段AC=AB+BC； 若向量
与
共线，则线段AC=AB+BC; 若向量

与
反向共线，则
. A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2
，一艘小船想以垂直于河岸方向10
的速度驶向对岸，则小 船的静止速度大小为 （ ） A.10
B.

C.

D.12
3.在
中，若
=0，则
为 ( ） A.正
三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 4.已知
两边的向量
，则BC边上的中线向量

用
、
表示为 5.已知
，则
、
、
两两夹角是 三、总结提升 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲” 建立平面几何与向量的联系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 把运算结果“翻译”成几何关系。 四、课后作业 1.已知
，求边长c。 2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。 3.在平面上的三个力
作用于一点且处于平衡状态，
的夹角为
，求：（1）
的大小；（2）
与
夹角的大小。

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