第十一讲 平面向量的数量积
一、知识回顾
知识点1:定义:两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做
与的数量积(或内积),记作:·,即:·= ︱︱·︱︱cos(①“·”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ”代替。② 零向量与任何向量的数量积为零)。
的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
知识点2:向量投影的概念:如图,把││cos(││cos)叫做向量在方向上
(在方向上)的投影,记做:OB1=︱││︱cos。数量积的几何意义:
数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos 的乘积。
知识点3:数量积的性质:设和b都是非零向量,则
知识点4:数量积的运算律:
例2、(已知︱︱=6,︱︱=4, 与的夹角为60°,求(+2 )·(-3),
变式:(1)(+)2=2+2·+2 (2)(+ )·(-)= 2—2
知识点5:设两个非零向量与,它们的夹角为,,
则:①
②
③ ④∥
二、典型例题
例 1、已知||=3,||=6,当①∥,②⊥,③与的夹角是60°时,分别求·。
例2、 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一个内角为直角,求k值。
变式:已知,当k为何值时,(1)垂直?
(2)平行吗?平行时它们是同向还是反向?
变式:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?
例3、与平行的单位向量是__________
变式:与垂直的单位向量是__________
三、课堂练习
1、已知||=5, ||=4, 与的夹角θ=120o, ·= .
2.已知||=2,||=1,与之间的夹角为,那么向量m=-4的模为 .
3.已知+=2i-8j,-=-8i+16j,其中i、j是x轴、y轴正方向上的单位向量,那么·= .
4.设m、n是两个单位向量,其夹角为60°,求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.
5.已知||=1,||=,(1)若∥,求·;(2)若、的夹角为60°,求|+|;
(3)若-与垂直,求与的夹角.
四、总结提升
1、·= ︱︱·︱︱cos
2、a=(x1,y1),b(x2,y2),则a·b=(x1,y1)·(x2,y2) =x1x2+y1y。
五、课后作业
1、设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角
2.则方向上的投影为_________
3.已知⊥、c与、的夹角均为60°,且||=1,||=2,|c|=3,则(+2-c)2=______.
4、已知A(1,2),B(4,-1),问在y轴上找点C,使∠ABC=90o,若能求C坐标;若不能,说明理由。
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