第十一讲 平面向量的数量积
一、知识回顾
知识点1：定义：两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做
与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos（①“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。② 零向量与任何向量的数量积为零）。
的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
知识点2：向量投影的概念：如图，把││cos（││cos）叫做向量在方向上
（在方向上）的投影，记做：OB1=︱││︱cos。数量积的几何意义：
数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos 的乘积。
知识点3：数量积的性质：设和b都是非零向量，则
知识点4：数量积的运算律：
例2、（已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），
变式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 2—2
知识点5：设两个非零向量与，它们的夹角为，，
则：①
②
③ ④∥
二、典型例题
例 1、已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·。
例2、 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。
变式：已知，当k为何值时，（1）垂直？
（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？
变式：已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?
例3、与平行的单位向量是__________
变式：与垂直的单位向量是__________
三、课堂练习
1、已知||=5， ||=4， 与的夹角θ=120o， ·= .
2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为 .
3.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是x轴、y轴正方向上的单位向量，那么·= .
4.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.
5.已知||=1，||=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；
(3)若-与垂直，求与的夹角.
四、总结提升
1、·= ︱︱·︱︱cos
2、a=(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=(x1,y1)·(x2,y2) =x1x2+y1y。
五、课后作业
1、设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角
2.则方向上的投影为_________
3.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.
4、已知A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90o，若能求C坐标；若不能，说明理由。
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