第3讲 随机事件的概率
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )．
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．
答案 C
2．(2013·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ( )．
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
解析 由对立事件可得P＝1－P(A)＝0.35.
答案 C
3．(2013·海口模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为.
答案 C
4．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 法一 P(B|A)＝＝＝.
法二 A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案 A与B、A与C、B与C、B与D B与D
6．(2013·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
解析 记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案 0.96
三、解答题(共25分)
7．(12分)某战士甲射击一次，问：
(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，事件(不中靶)的概率为多少？
(2)若事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数不大于6)的概率为多少？
解 (1)∵事件A(中靶)的概率为0.95，
根据对立事件的概率公式得到的概率为1－0.95＝0.05.
(2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件，∵事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7，
∴事件C(中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.
8．(13分)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？
解 (1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，
故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件．那么 ( )．
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
答案 B
2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．
解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.
答案 32 0.437 5
4．(2013·浙江五校联考)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
解析 设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二 因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
6．(13分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．
解 (1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.
用频率估计相应的概率可得
P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.
(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，
∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，
P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.
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