第5讲 几何概型
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是 ( )．
A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001
解析 设事件A为“10 mL小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝0.01，所以10 mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.
答案 C
2. (2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由几何概型的概率公式，得＝，所以阴影部分面积约为，故选C.
答案 C
3．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ( )．
A. B.
C. D.
解析 S△ABE＝|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|.
故所求概率P＝＝.
答案 C
4．(2012·辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 设出AC的长度，先利用矩形面积小于32 cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率为＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·长沙模拟)在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为________．
解析 根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝＝.
答案
6．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解 弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
8．(13分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件
求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．
解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．
设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝＝.
(2)m，n满足条件的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P＝＝.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝.
答案 B
2．(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2－有不等实数根的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 方程x＝2－，即x2－2x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(2)2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2－有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝＝.故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．
解析 确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2××π×13＝π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－＝.
答案
4．(2012·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________．
解析 三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝＝.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·深圳调研)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．
(1)若随机数b，c∈{1,2,3,4}；
(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b＝4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”）
解 由f(x)＝x2＋bx＋c知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即
(1)因为随机数b，c∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
事件A：包含了其中6个数对(b，c)，
即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．
所以P(A)＝＝，即事件A发生的概率为.
(2)由题意，b，c均是区间[0,4]中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S(Ω)＝16.
事件A：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，
其面积为S(A)＝×(1＋4)×3＝.
所以P(A)＝＝＝，
即事件A发生的概率为.
6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
解 甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．
以y和x分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．
由几何概型公式，得P(A)＝＝.
故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是.
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