4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
一、选择题
1. cos=( )
A. B. C.- D.-
解析 cos=cos=cos=cos=-cos=-,故选C.
答案 C
2. 若tan=3,则的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 因为==,所以选D.
答案 D
3.若cos(2π-α)=且α∈,则sin(π-α)=( ).
A.- B.- C.- D.±
解析 cos(2π-α)=cos α=,又α∈,
∴sin α=-=-=-.
∴sin(π-α)=sin α=-.
答案 B
4.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于( ).
A.-2 B.2 C.-2或2 D.0
解析 原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sin α与cos α的符号相反,所以原式=0.
答案 D
5.已知sin 2α=-,α∈,则sin α+cos α=( )
A.- B.
C.- D.
解析:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,
又α∈,sin α+cos α>0,
所以sin α+cos α=.
答案:B
6.已知f(cos x)=cos 3x,则f(sin 30°)的值为( ).
A.0 B.1 C.-1 D.
解析 ∵f(cos x)=cos 3x,
∴f(sin 30°)=f(cos 60°)=cos 180°=-1.
答案 C
7.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为
( ).
A.1+ B.1-
C.1± D.-1-
解析 由题意知:sin θ+cos θ=-,sinθcos θ=,
又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,
∴=1+,
解得:m=1±,又Δ=4m2-16m≥0,
∴m≤0或m≥4,∴m=1-.
答案 B
二、填空题
8.若sin(π+α)=-,α∈,则cos α=________.
解析 ∵sin(π+α)=-sin α,∴sin α=,又α∈,
∴cos α=-=-.
答案 -
9.已知cosα=-,且α是第二象限的角,则tan(2π-α)=________.
解析 由α是第二象限的角,得sinα==,tanα==-,则tan(2π-α)=-tanα=.
答案
10.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=________.
解析:原式=cos α+sin α
=cos α+sin α =cos α+sin α=0.
答案:0
11.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值是________.
解析 (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
又∵<α<,sin α>cos α.∴cos α-sin α=-.
答案 -
12.已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为________.
解析 依题意得sin α-cos α=,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,即(sin α+cos α)2+2=2,故(sin α+cos α)2=;又α∈,因此有sin α+cos α=,所以==-(sin α+cos α)=-.
答案 -
三、解答题
13.已知sinα=,求tan(α+π)+的值.
解析 ∵sinα=>0,∴α为第一或第二象限角.
当α是第一象限角时,cosα==,
tan(α+π)+=tanα+
=+==.
当α是第二象限角时,cosα=-=-,
原式==-.
14.已知=3+2,
求cos2(π-α)+sin ·cos +2sin2(α-π)的值.
解析:由已知得=3+2,
∴tan α===.
∴cos2(π-α)+sin cos +2sin2(α-π)
=cos2α+(-cos α)(-sin α)+2sin2α
=cos2α+sin αcos α+2sin2α
=
=
==.
15.化简:(k∈Z).
解析 当k=2n(n∈Z)时,
原式=
===-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
===-1.
综上,原式=-1.
16.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
解析 (1)原式=+
=+
==sin θ+cos θ.
由条件知sin θ+cos θ=,
故+=.
(2)由sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ
=(sin θ+cos θ)2,得1+m=2,即m=.
(3)由得或
又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.
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