4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin，因为f＝0，所以函数图像关于点中心对称，故选A.
答案A
2.要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ）
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
解析 因为,所以将向左平移个单位,故选C.
答案 C
3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )．
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
解析 由T＝＝π，∴ω＝2.由f(0)＝?2sin φ＝，
∴sin φ＝，又|φ|＜，∴φ＝.
答案 D
4．将函数y＝f(x)·sin x的图像向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图像，则f(x)可以是( )．
A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x
解析 运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos 2x的图像关于x轴的对称图像得y＝－cos 2x＝－sin 2的图像，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin x＝－sin 2＝sin 2x＝2sin xcos x的图像．∴f(x)＝2cos x.
答案 D
5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
解析：由函数图像知A＝10，＝－＝.
∴T＝＝，∴ω＝100π.
∴I＝10sin(100πt＋φ)．
又∵点在图像上，
∴10＝10sin
∴＋φ＝，∴φ＝，
∴I＝10sin .
当t＝时，I＝10sin ＝－5.
答案：A
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )．
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin，由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
答案 A
7．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )．
A. B．3 C．6 D．9
解析 依题意得，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的是f＝cos ω＝cos
的图像，故有cos ωx＝cos，而cos ωx＝cos(k∈Z)，故ωx－＝2kπ(k∈Z)，
即ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此ω的最小值是6.
答案 C
二、填空题
8. 将函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，向右最少平移个单位长度，或向左最少平移个单位长度，所得到的函数图像均关于原点中心对称，则ω＝________.
解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有
＝－＝2π，故T＝4π，即＝4π，ω＝.
答案
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，则ω＝________.
解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为2，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝＝2，∴T＝4，∴ω＝＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析 由题意知ω＝2，∴f(x)＝3sin，
当x∈时，2x－∈，
∴f(x)的取值范围是.
答案
11．在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最大值，当x＝时有最小值－，若φ∈，则函数解析式f(x)＝________.
解析 首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小值－，所以T＝×2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f(x)＝sin.
答案 sin
12．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图像关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：
①图像关于点对称；②图像关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．
以上正确结论的编号为________．
解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为π，
∴ω＝＝2，又其图像关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z.
由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．
∴y＝sin关于点对称．故②正确．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
∵(k∈Z)．∴④正确．
答案 ②④
三、解答题
13．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x.
(1)将f(x)的图像向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图像，求g(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．
解析 (1)依题意f(x)＝sin2x＋2·
＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin＋1，
将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数f1(x)＝2sin＋1＝2sin2x＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1.
(2)函数f(x)的最小正周期为T＝π，
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．
14．已知函数f(x)＝2·sincos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解析 (1)因为f(x)＝sin＋sin x＝cos x＋sin x＝2＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，
∴g(x)＝f＝2sin＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.
当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.
【点评】 解决三角函数的单调性及最值?值域?问题主要步骤有：
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin?ωx＋φ?＋h或y＝Acos?ωx＋φ?＋h的形式.
第二步：根据sin x、cos x的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.
第三步：根据已知x的范围，确定“ωx＋φ”的范围.
第四步：确定最大值或最小值.
第五步：明确规范表述结论.
15．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝2，求函数g(x)在x∈上的最大值，并确定此时x的值．
解析 (1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.
又f＝2sin
＝2sin＝0，
∴sin＝0，∵0＜φ＜，∴－＜φ－＜，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)由(1)可得f＝2sin
＝2sin，
∴g(x)＝2＝4×
＝2－2cos，
∵x∈，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.
16．已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．
解析 (1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1
＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin，
由题意可知函数的最小正周期T＝＝π(ω>0)，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋其中k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，
即f(x)的递增区间为，k∈Z.
(2)g(x)＝f＝2sin＝2sin，
则g(x)的最大值为2，
此时有2sin＝2，即sin＝1，
即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，
所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为.
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