第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a 共线,那么a·b的值为
( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则= ( )
A.b-a B.b+a
C.a+b D.a-b
3.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c则λ=( )
A. B.
C.1 D.2
4.已知向量a=(1,1-cos θ),b=(1+cos θ,),且a∥b,则锐角θ等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
5.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,μ∈R,那么A、B、C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(b-c,cos C),
n=(a,cos A),m∥n,则cos A的值等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值等于________.
8.在△ABC中,=a,=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN、AM交于点P,则=_______(用a,b表示).
9.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.
三、解答题
10.已知向量a=(1,2),b=(2,3),λ∈R,若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,
求λ.
11.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0.延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、.
[来源: ]
12.已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线;
(3)若t1=a2,求当⊥且△ABM的面积为12时a的值.
详解答案
一、选择题[来源: ]
1.解析:依题意得a+b=(3,k+2).由a+b与a共线,得1×(k+2)-3×k=0,由此解得k=1,a·b=2+2k=4.[来源: ]
答案:D
2.解析:=++=-a+b+a=b-a.
答案:A
3.解析:可得a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c得 (1+λ)×4-3×2=0,∴λ=
答案:B
4.解析:∵a∥b,∴(1-cos θ)(1+cos θ)=.
即sin2θ=,又∵θ为锐角,
∴sin θ=,θ=45°.
答案:B
5.解析:∵=λa+b,=a+μb,
且A、B、C三点共线.
∴存在实数m,使=m,即
λa+b=m(a+μb)
∴,∴λμ=1.
答案:D
6.解析:m∥n?(b-c)cos A-acos C=0,再由正弦定理得sin BcosA=sin Ccos A
+cos Csin A?sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即cos A=.
答案:C
二、填空题
7.解析:=(a-2,-2),=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即ab-2a-2b=0,所以+=.
答案:
8.解析:如图所示,=+=-+=-+×(+)=-++=-+=-a+b.
答案:-a+b
9.解析:由已知a+b=(1,m-1),c=(-1,2),
由(a+b)∥c得1×2-(m-1)×(-1)=m+1=0,
所以m=-1.
答案:-1
三、解答题
10.解:λa+b=(λ+2,2λ+3),
又向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,
所以-7(λ+2)-(-4)(2λ+3)=0,解得λ=2.
11.解:∵=-
=-a,=-=-b,
又3+4+5=0,
∴3+4(-a)+5(-b)=0,[来源: ]
化简,得=a+b.
设=t (t∈R),则=ta+tb.①
又设=k (k∈R),由=-=b-a,得
=k(b-a).而=+=a+,
∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②
由①②,得t=1-k,t=k解得t=.
代入①,有=a+b.
12.解:(1) =t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).
当点M在第二或第三象限时,有4t2<0,2t1+4t2≠0
故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.
(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).
∵=-=(4,4),[来源: ]
=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,
∴不论t2为何实数,A、B、M三点共线.
(3)当t1=a2时,=(4t2,4t2+2a2).
又∵=(4,4),⊥,
∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,∴t2=-a2.
∴=(-a2,a2).
又∵||=4,
点M到直线AB:x-y+2=0的距离
d==|a2-1|.
∵S△ABM=12,
∴||·d=×4×|a2-1|=12,解得a=±2,故所求a的值为±2.
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