第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝ ( )．
A．(6,3) B．(7,3) C．(2,1) D．(7,2)
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
答案 B
2．(2013·抚州模拟)已知平面内任一点O满足＝x＋y(x，y∈R)，则“x＋y＝1”是“点P在直线AB上”的 ( )．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 根据平面向量基本定理知：＝x＋y(x，y∈R)且x＋y＝1等价于P在直线AB上．
答案 C
3．(2013·金华模拟)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为
( )．
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析 设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.
答案 D
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ( )．
A. B. C．1 D．2
解析 依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，
由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·西安模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
6．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________.
解析 设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴解得
∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
答案 2
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
解得k＝λ＝－，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二 由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
8．(13分)已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解 (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－；
若P在第二象限，则
∴－＜t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若OABP为平行四边形，则＝，
∵无解．
所以四边形OABP不能成为平行四边形．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
整理得b2＋a2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
又0°0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
解析 ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.
∴＋＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2 ＝8.
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
∴＋的最小值是8.
答案 8
4.(2013·青岛期末)设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
解析 由题意得点A的坐标为(－2,1)，点B的坐标为(4,3)，||＝，||＝5.
sin∠AOB＝sin(∠AOy＋∠BOy)
＝sin∠AOycos∠BOy＋cos∠AOysin∠BOy
＝×＋×＝.
故S△AOB＝||||sin∠AOB＝×5××＝5.
答案 5
三、解答题(共25分)
5．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解 (1)∵＝(cos θ－1，t)，
又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t.①
又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，
当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋
＝＋＝2－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.
6．(13分)已知向量v＝(x，y)与向量d＝(y,2y－x)的对应关系用d＝f(v)表示．
(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；
(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(1)解 f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)解 设c＝(x，y)，则由f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，
得所以
所以c＝(2p－q，p)．
(3)证明 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)
又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，
所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
故f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b).
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