第4讲 平面向量应用举例
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于 ( )．
A．1 B．－1 C. D.
解析 由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.
所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，
所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1.
答案 A
2．(2013·九江模拟)若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是 ( )．
A. B. C．2 D.
解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝.
答案 B
3.(2012·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝ ( )．
A．4 B．6
C．1 D．2
解析 由条件可得B(3,1)，A(2,0)，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.
答案 B
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 法一 依题意，不妨设＝E，＝2，
则有－＝(－)，即＝＋；
－＝2(－)，即＝＋.
所以·＝·
＝(2＋)·(＋2)
＝(22＋22＋5·)
＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，选A.
法二 由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，
如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，
∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
解析 ·＝·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝1－×1×2cos 60°－×4＝－.
答案 －
6．(2013·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，则·＝________.
解析 依题意得(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B>0，
于是有cos A＝，sin A＝＝，
又S△ABC＝·bcsin A＝bc×＝，所以
bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3×＝－1.
答案 －1
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若c＝，求k的值．
解 (1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，
又·＝·，∴bccos A＝accos B，
∴sin Bcos A＝sin Acos B，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，
∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，
∵c＝，∴k＝1.
8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解 (1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.
又α∈，∴α＝.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝.①
又＝＝2sin αcos α.
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴＝－.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4a＋2b＋3c＝0，则cos B＝ ( )．
A．－ B.
C. D．－
解析 由4a＋2b＋3c＝0，得
4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，
所以4a＝3c＝2b.
由余弦定理得cos B＝＝＝－.
答案 A
2．(2013·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为 ( )．
A．1 B．2 C. D．3
解析 如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，
∴AO为BC的中垂线，
∴||＝||＝||＝2，||＝1，
∴||＝，∴在方向上的投影为.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．
解析 若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.
9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.
当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．
答案 6
4．(2013·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解析 由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
解 (1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B，
∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.
又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.
(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝，
得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，
得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为.
6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m＝，
n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解 (1)m·n＝sin ·cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin＋，
∵m·n＝1，∴sin＝.
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.
∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.
∴＜＋＜，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
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