第五章 第三节 等比数列及其前n项和
一、选择题
1．如果等比数列{an}中，a3·a4·a5·a6·a7＝4，那么a5＝( )
A．2 B.
C．±2 D．±
2．设数列{an}，{bn}分别为等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是( )
A．a2＞b2 B．a3＜b3
C．a5＞b5 D．a6＞b6
3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B.
C. D．1
4．已知等比数列{an}中，an＞0，a10a11＝e，则lna1＋lna2＋…＋lna20的值为( )
A．12 B．10
C．8 D．e
5．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
6．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )
A．－4或1 B．1
C．4 D．4或－1
二、填空题
7．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
三、解答题
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·
11．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
12．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，
b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
详解答案
一、选择题
1．解析：依题意得a＝2，a5＝.
答案：B
2．解析：设等差数列的公差为d，等比数列公比为q，由a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，
得d＝－1，q＝，于是a2＝3＞b2＝2.
答案：A
3．解析：由题意得a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1.
∴＝＝.
答案：A
4．解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)·(a2a19)…(a10a11)]＝lne10＝10.
答案：B
5．解析：由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1，
两式相除得，＝＝16，∴q2＝16.
∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.
答案：B
6．解析：若删去a1或a4，知数列既为等差也为等比时，公差d＝0，由条件知不成立．若删去a2，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
若删去a3，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，解得＝－4或1.
答案：D
二、填空题
7．解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.
答案：2
8．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝.
答案：an＝
9．解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，
而{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，
∴{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中．
∵{an}是公比为q的等比数列， |q|＞1，
∴{an}中的连续四项为－24，36，－54，81.
∵q＝－＝－，∴6q＝－9.
答案：－9
三、解答题
10．解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
11．解：(1)证明：因为an＝×()n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)因为bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)
＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
12．解：(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或
an＝(2－)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得
a＝.
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