(对应学生用书P311 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则＝ ( )
A. B.－
C. D.或－
解析 C b－a＝＝－1，又∵d2＝4，
∴d＝2或d＝－2，若d＝2，则q2＝－2不可能，
∴d≠2，∴d＝－2，∴＝.
2．(2013·福州质检)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5＝4，则数列{log2an}的前7项和等于 ( )
A．7 B.8
C．27 D.28
解析 A 在各项均为正数的等比数列{an}中，由a3a5＝4，得a＝4，a4＝2.设bn＝log2an，则数列{bn}是等差数列，且b4＝log2a4＝1.所以数列{bn}的前7项和S7＝＝7b4＝7.
3．在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是 ( )
A．34 B.35
C．36 D.37
解析 C 在100至500之间能被11整数的数为110,121,132,143，…，它们构成等差数列，公差为11，通项公式为an＝110＋11(n－1)＝11n＋99，由an＝11n＋99≤500，得n≤36，∵n∈N*，∴n≤36.
4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )
A．6秒钟 B.7秒钟
C．8秒钟 D.9秒钟
解析 B 设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴2n－1≥100，n≥7.
5．一个三角形三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于 ( )
A．0 B.
C. D.
解析 A ∵A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，则B＝，b2＝ac，∴cos B＝＝，可推出a＝c＝b.
6．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的重量恰能构成一个等差数列，则这群羊共有 ( )
A．6只 B.5只
C．8只 D.7只
解析 A 设a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，
∴(n－1)a1＋d＝55，
即7(n－1)＋＝55，
(n－1)＝55，
∵55＝11×5且(n－1)∈N*，∈N*.
∴∴n＝6.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．
解析 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.由S1,2S2,3S3成等差数列，得2·2S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，从而可得3q2－q＝0，解得q＝0或q＝.因为q≠0，所以q＝.
【答案】
8．(2013·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
解析 由x2－x<2nx(n∈N*)，
得00且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．若a为常数，求证：{an}成等比数列．
解析 f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，
即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.
∴当n≥2时，＝＝＝a2为定值，
∴{an}是首项为a4，公比为a2的等比数列．
12．(16分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
解析 (1)第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×n－1万元，所以总投入an＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4 000×.
同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×n－1万元．
bn＝400＋400×＋…＋400×n－1
＝1 600×.
(2)需使bn－an>0，
即1 600×－4 000×>0，
化简，得5×n＋2×n－7>0.
设x＝n,5x2－7x＋2>0，
∴x<，x>1(舍去)，即n<，解得n≥5.
∴至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
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