第一讲 柱、锥、台、球体的结构特征、表面积与体积
一、知识回顾
知识点1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.
知识点2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条
定直线叫旋转体的轴.
知识点3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）；①按底面多边形的边数来分，三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱.③用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图中棱柱表示为棱柱—.
知识点4：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如图中的棱锥.
知识点5：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体
叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，
相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.
知识点6：1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；
4. 正棱台：由平行与正棱锥底面的平面截正棱锥得的棱台叫做正棱台.
知识点7：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：
圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为 .圆柱和棱柱统称为柱体.
知识点8：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.
知识点9：圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.
知识点10：直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线， 棱台与圆台统称为台体.
知识点11：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母表示，如球.
知识点12：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.
知识点13：（.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.
知识点14：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.
知识点15：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.
（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.
（3）设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即
.知识点16：柱体体积公式为：， 锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为：（，分别为上、下底面面积，为高）
补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.
知识点17： 球的体积公式 球的表面积公式 （为球的半径）
三、典型例题
例1、 如图所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且三线两两垂直，又，，求三棱锥的表面积S与体积.
小结：求解三棱锥(四面体) 体积时，它的每一个面都可以当作底面来处理.
例2、 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为80、440，高(上下底面的距离)是200,制造这样一个下料斗所需铁板的面积.它的容积是多少？
例3、 已知一个圆锥的底面半径为,高为,在其中有个高为的内接圆柱.
求圆柱的侧面积； （2） 为何值时，圆柱的侧面积最大？
例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证
（1）球的体积等于圆柱体积的； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
例5、.如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
例6、.圆锥的底面半径为，母线长，为的中点，一个动点
自底面圆周上的点沿圆锥侧面移动到，求这点移动的最短距离.
(在中,边分别为,所对角为,则有)
三、课堂练习
1. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.
2. 棱台不具有的性质是（ ）.
A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
3. 已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角______度.
4. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.
5. 一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
6. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.
A. B. C. D.
7. 记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为（ ）.
A.1:2:3 B.1:: C.1:: D.1:4:9
8. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.
9．长方体的一个顶点上的三条棱长为3、、，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
10. 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为多少?
四、总结提升
1. 多面体、旋转体的有关概念；
2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.
3. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；
4. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；
五、课后作业
1. 在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为.问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？体积是多少？
2.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).
3. 一个圆台上下底面半径分别为5、10，母线=20.一只蚂蚁从的中点绕圆台侧面转到下底面圆周上的点，求蚂蚁爬过的最短距离.
4．若三个球的表面积之比为﹕﹕，则它们的体积之比为多少?
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