第一章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩?NB等于 ( )
A．{1,5,7} B．{3,5,7}
C．{1,3,9} D．{1,2,3}
答案 A
解析 即在A中把B中有的元素去掉．
2．已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合B＝{y|y＝sin(x－1)}，则(?UA)∩B为 ( )
A．(，＋∞) B．(0，]
C．[－1，] D．?
答案 C
解析 如图，阴影部分表示集合(?UA)∩B，而集合A＝{x|x>}，?UA＝{x|x≤}．B＝{y|－1≤y≤1}，所以(?UA)∩B＝{x|x≤}∩{y|－1≤y≤1}＝{x|－1≤x≤}．
3．已知?ZA＝{x∈Z|x＜6}，?ZB＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是 ( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．?ZA?ZB
答案 A
4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，
∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
5．已知命题p：?x∈R，x2－2x＋1>0；命题q：?x∈R，sinx＝1.则下列判断正确的是 ( )
A．綈q是假命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．p是真命题
答案 A
解析 由题意可知，p假q真．
6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x>a}，则下列关系不可能成立的是
( )
A．A?B B．B?A
C．AB D．A??RB
答案 D
解析 由可得A＝[－1,2)∪(2，＋∞)，前三个选项都有可能，对于选项D，?RB＝(－∞，a]，不可能有A??RB.
7．设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6>0}，B＝{x||x－5||11－5|＝6.又由|x－5|11.画数轴知选D.
8．下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
答案 D
解析 A中原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错；C中命题的否定应为“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错；在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，因此D正确．
9．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为 ( )
A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行
C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行
D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行
答案 A
解析 命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.
10．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的________条件．
答案 充分不必要
12．设全集为R，集合A＝{x|≤1}，则?RA________.
答案 {x|0≤x<1}
解析 A＝{x|≤1}＝{x|－1≤0}＝{x|≤0}＝
{x|x≥1或x<0}，因此?RA＝{x|0≤x<1}．
13．满足条件：M∪{a，b}＝{a，b，c}的集合M的个数是________．
答案 4个
14．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
答案 {2,4,6,8}
解析 A∪B＝{x∈N*|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．
15．“α≠”是“cosα≠”的________条件．
答案 必要不充分
16．下列命题中是假命题的是________．
①存在α，β∈R，有tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
②对任意x>0，有lg2x＋lgx＋1>0
③△ABC中，A>B的充要条件是sinA>sinB
④对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
答案 ④
解析 对于①，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此选项①是真命题；对于②，注意到lg2x＋lgx＋1＝(lgx＋)2＋≥>0，因此选项B是真命题；对于③，在△ABC中，由A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此选项③是真命题；对于④，注意到当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函数，∴④是假命题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，求实数m的值组成的集合．
答案 {0，－，－}
解析 A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，A∪B＝A，∴B?A.
①当m＝0时，B＝?，B?A；
②当m≠0时，由mx＋1＝0，得x＝－.
∵B?A，∴－∈A.
∴－＝2或－＝3，得m＝－或－.
∴满足题意的m的集合为{0，－，－}．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一的解；
(4)存在实数x0，使得＝2.
解析 (1)是特称命题；用符号表示为：?α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题．
(2)是全称命题；用符号表示为：?直线l，l存在斜率，是一个假命题．
(3)是全称命题；用符号表示为：?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题．
(4)是特称命题；用符号表示为：?x0∈R，＝2是一个假命题．
19．(本小题满分12分)已知命题“?x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．
答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析 依题意知，对任意x∈R，都有|x－a|＋|x＋1|>2；由于|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，
因此有|a＋1|>2，a＋1<－2或a＋1>2，
即a<－3或a>1.
所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|>1}．
(1)若m＝3，求E∩F；
(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．
解析 (1)当m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}，
F＝{x|>1}＝{x|<0}＝{x|－60时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}，
由E∪F＝R，F＝{x|－60}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝ ( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
答案 C
解析 因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
答案 D
解析 ∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.
即a>1，b>1?ab>1.
9．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 l1与l2平行的充要条件为a(a＋1)＝2×1且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．
10．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由面面垂直的性质定理，可得α⊥β，α∩β＝m，b?β，b⊥m?b⊥α.又∵a?α，∴a⊥b，但反之则不成立．
11．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“>”是“a>b”的充要条件，则 ( )
A．“p或q”为真 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
答案 A
解析 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由>能够推出a>b，反之，因为>0，所以由a>b能推出>成立，故命题q是真命题．因此选A.
12．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x<3x，命题q：?x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是 ( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∨(綈q)
答案 C
解析 由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨(綈q)”为假命题，命题“(綈p)∧q”为真命题，命题“p∧(綈q)”为假命题，故选C.
13．有下列四个命题，其中真命题是 ( )
A．?n∈R，n2≥n
B．?n∈R，?m∈R，m·n＝m
C．?n∈R，?m∈R，m2
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