课时提升作业(二十八) 一、选择题 1.(2013·蚌埠模拟)复数z=
的实部是　(　　) (A)4 (B)1 (C)-1 (D)-4 2.(2013·景德镇模拟)复数(m2-3m)+mi(m∈R)是纯虚数,则实数m的值是 (　　) (A)3 (B)0 (C)0或3 (D)0或1或3 3.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于　(　　) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4.复数
等于　(　　) (A)-1+i (B)1+i (C)1-i (D)-1-i 5.若
+(1+
i)2=a+bi(a,b∈R),则a-b=　(　　) (A)2
(B)-2
(C
)2+2
(D)2
-2 6.(2012·北京高考)在复平面内,复数
对应的点的坐标为　(　　) (A)(1,3)
(B)(3,1) (C)(-1,3) (D)(3,-1) 7.设i是虚数单位,复数z=tan45°-i·sin 60°,则z2等于　(　　)
(A)
-
i (B)
-
i (C)
+
i (D)
+
i 8.复数z=
(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于　(　　) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则(
)3等于　(　　) (A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 10.(能力挑战题)若sin2θ-1+i(
cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为　(　　) (A)2kπ-
,k∈Z (B)2kπ+
,k∈Z[ (C)2kπ±
,k∈Z (D)
π+
,k∈Z 二、填空题 11.复数z0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z·z0=5z+z0,则z=　　　　. 12.定义一种运算如下:
=x1y2-x2y1,则复数z=
(i是虚数单位)的共轭复数是　　　　　　　　. 13.(能力挑战题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部的最大值为　　　　,虚部的最大值为　　　　. 14.若复数z=cosθ+isinθ且z
2+
=1,则sin2θ=　　　　. 三、解答题 15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|
-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值. 答案解析 1.【解析】选C.∵z=
=
=
= -1-2i, ∴z的实部是-1. 2.【解析】选A.∵(m2-3m)+mi是纯虚数, ∴m2-3m=0且m≠0, ∴m=3. 3.【思路点拨】先计算所给的复数,根据实部、虚部确定对应点所在的象限. 【解析】选D.z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i,故对应的点在第四象限.[来源:学科网ZXXK] 4.【解析】选A.
=
=

=-1+i. 【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值 为　(　　) (A)4 (B)4+4i (C)-4
(D)2i 【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i, 得x=3,y=1, ∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4. 5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题. 【解析】选B.
+(1+
i)2=1-i-2+2
i =-1+(2
-1)i=a+bi, 则a=-1,b=2
-1,故a-b=-2
. 6.【思路点拨】化简复数后
,利用复数的几何意义找出所对应的点. 【解析】选A.
=
=
=1+3i,所对应点的坐标为(1,3). 7.【解析】选B.z=1-
i,∴z2=
-
i. 8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断. 【解析】选A.z=
=
=
+
i,显然
>0与-
>0不可能
同时成立,则z=
对应的点不可能位于第一象限. 【一题多解】选A.z=
=
+
i,设x=
,y=
,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=
对应的点不可能位于第一象限. 【方法技巧】复数问题的解题技巧 (1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数. (2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置. 9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni, 故m=2,m=-n,故m=2,n=-2, 故(
)3=(
)3=i. 10.【解析】选B.由题意,得
解得
∴θ=2kπ+
,k∈Z. 11.【解析】由z0=5
+2i及z·z0=5z+z0, 得z=
=
=
=1-
i. 答案:1-
i 12.【解析】由定义知,z=(
+i)i-(
-i)×(-1)=
-1+(
-1)i,故
=
-1-(
-1)i. 答案:
-1-(
-1)i 13.【解
析】z1·z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ). 实部为cosθsinθ+1=1+
sin 2θ≤
, 所以实部的最大值为
. 虚部为cosθ-sinθ=
sin(
-θ)≤

, 所以虚部的最大值为
. 答案:
　
14.【解析】z2+
=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1?cos 2θ=
,所以sin2θ=
=
. 答案:
15.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可. (2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题. 【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, ∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0, ∴
解得a=b=3. (2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t), 由|
-3-3i|=2|z|, 得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2), 即(s+1)2+(t-1)2=8, ∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2
为半径的圆,如图所示,
当Z点在OO1的连线上时, |z|有最大值或最小值. ∵|OO1|=
, 半径r=2
, ∴当z=1-i时,[ |z|有最小值且|z|min=
. 【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件: ①z+
是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在?若存在,
求出z;若不存在,请说明理由. 【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0), 则z+
=a+bi+

=a(1+
)+b(1-
)i. 又z+3=a+3+bi,z+
是实数, 根据题意有
∵b≠0, ∴
解得
或
∴z=-1-2i或z
=-2-i.

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