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课时提升作业(二十)
一、选择题
1.(2013·鹰潭模拟)若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于
( )
(A)-2 (B)2 (C)-2或2 (D)0
2.(2013·九江模拟)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tanx等于( )
(A)- (B)- (C) (D)
3.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( )
(A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z)
(C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z)
4.(2013·汉中模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )
(A)y=f(x)在(0,)上是增加的,其图像关于直线x=对称
(B)y=f(x)在(0,)上是增加的,其图像关于直线x=对称
(C)y=f(x)在(0,)上是减少的,其图像关于直线x=对称
(D)y=f(x)在(0,)上是减少的,其图像关于直线x=对称
5.(2013·延安模拟)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为
( )
(A)1 (B)2 (C)+1 (D)+2
6.已知cos(α-)+sinα=,则sin(α+)的值是( )
(A)- (B)
(C)- (D)
二、填空题
7.(2013·阜阳模拟)已知cos(-100°)=m,则tan80°= .
8.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,则该函数图像的对称中心为 .
9.已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是 .
三、解答题
10.已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.
(1)求f(x)最小正周期和最小值.
(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0.
11.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)若f(x)=2f′(x),求的值.
(2)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最大、最小值.
12.(1)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
(2)已知cosα=-,α∈(π,π),tanβ=-,β∈(,π),求cos(α+β).
答案解析
1.【解析】选D.原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0
2.【解析】选D.∵cos(π+x)=-cosx=,
∴cosx=-,
又π0,
∴+2tanα≥2
(当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立),
∴tanβ的最大值为=.
答案:
【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用
(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.
(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,分子分母同除,切函数化成弦函数等技巧.
10.【思路点拨】(1)将f(x)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解.
(2)由条件求得β的值后再证明.
【解析】(1)f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx
=2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2.
(2)由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=,
cosαcosβ-sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0,
∵0<α<β≤,
∴cosβ=0,则β=,
∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0.
【变式备选】函数f(x)=sin2x--.
(1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值.
(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=sin 2x--
=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,
∵x∈[,],∴≤2x-≤,
当2x-=,即x=时,f(x)max=0,
当2x-=,即x=时,f(x)min=-.
(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])f(x)-1f(x)max-1且m0,故-1
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