课时提升作业(二十九) 一、选择题 1.已知数列
,
,
,…,
,…,下面各数中是此数列中的项的是　(　　) (A)
(B)
(C)
(D)
2.由a1=1,an+1=
,给出的数列{an}的第34项为　(　　) (A)
(B)100 (C)
(D)
3.(2013·南昌模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=2-2n+1,则a3=　(　　) (A)-1 (B)-2 (C)-4 (D)-8 4.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值为　(　　) (A)150 (B)161 (C)160 (D)171 5.(2013·西安模拟)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N+),则
的值是　 (　　) (A)
(B)
(C)
(D)
6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+
),则an=　(　　) (A)2+lnn (B)2+(n-1)lnn (C)2+nlnn (D)1+n+lnn 7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足50,y>0),已知数列{an}满足:an=
(n∈N+),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N+)成立,则ak的值为　(　　) (A
)
(B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 9.数列-
,
,-
,
,…的一个通项公式可以是　　　. 10.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N+),则数列{an}的通项公式是　　　　. 11.(2013·赣州模拟)已知数列{an}满足a1=
,an-1-an=
(n≥2),则该数列的通项公式an=　　　　　. 12.(能力挑战题)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=
若a6=1,则m所有可能的值为　　　. 三、解答题 13.已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足bn=
,且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式. (2)判断数列{cn}的增减性. 14.(能力挑战题)解答下列各题: (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N+),其中实数c≠0.
求{an}的通项公式. (2)数列{an}满足:a1=1,an+1=3an+2n+1(n∈N+),求{an}的通项公式. 15.(2012·广东高考)设数列{an}前
n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N+. (1)求a1的值. (2)求数列{an}的通项公式.
答案解析 1
.【解析】选B.∵42=
6×7,故选B. 2.【解析】选C.把递推式取倒数得
=
+3, 所以
=
+3×(34-1)=100, 所以a34=
. 3.【解析】选D.a3=S3-S2=-14-(-6)=-8. 4.【解析】选B.S10-S3=(2×102-3×10+1)-(2×32-3×3+1)=161. 5.【解析】选C.当n=2时,a2·a1=a1+(-1)2,∴a2=2. 当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,∴a3=
. 当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,∴a4=3. 当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,∴a5=
,∴
=
. 6.【思路点拨】根据递推式采用“叠加”方法求解. 【解析】选A.∵an+1=an+ln(1+
)=an+ln
=an+ln(n+1)-lnn, ∴a2=a1+ln2,a3=a2+ln3-ln2,…,an=an-1+lnn-ln(n-1), 将上面n-1个式子左右两边分别相加得an=a1+ln2+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+[lnn-ln(n-1)]=a1+lnn=2+lnn. 7.【解析】选B.an=
即an=
∵n=1时也适合an=2n-10,∴an=2n-10. ∵5(n+1)2,即当n≥3时,an+1>an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者
,a1=2,a2=1,a3=
,故ak的值为
. 9.【解析】正负相间使用(-1)n,观察可知第n项的分母是2n,分子比分母的值少1,故an=(-1)n
. 答案：an=(-1)n
10.【思路点拨】根据an和Sn的关系转换an+1=2Sn+1(n≥1)为an+1与an的关系或者Sn+1与Sn的关系. 【解析】方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3, ∴a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列, ∴an=3n-1. 方法二:由于an+1=Sn+1-Sn, an+1=2Sn+1, 所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1, 把这个关系化为Sn+1+
=3(Sn+
), 即得数列{Sn+
}为首项是S1+
=
, 公比是3的等比数列,故Sn
+
=
×3n-1=
×3n, 故Sn=
×3n-
. 所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1, 由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是an=3n-1. 答案：an=3n-1 【方法技巧】an和Sn关系的应用技巧 在根据数列的通项an与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据Sn+1-Sn=an+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据an+1=Sn+1-Sn把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求Sn再求an. 11.【解析】由递推公式变形,得
-
=
=
-
, 则
-
=1-
,
-
=
-
,…,
-
=
-
, 各式相加得
-
=1-
, 即
=
, ∴an=
. 答案：
12.【解析】根据递推式以及a1=m(m为正整数)可知数列{an}中的项都是正整数. a6=1,若a6=
,则a5=2,若a6=3a5+1,则a5=0,故只能是a5=2. 若a5=
,则a4=4,若a5=3a4+1,则a4=
,故只能是a4=4. 若a4=
,则a3=8,若a4=3a3+1,则a3=1. (1)当a3=8时,若a3=
,则a2=16,若a3=3a2+1,则a2=
,故只能是a2=16
,若a2=
,则a1=32,若a2=3a1+1,则a1=5. (2)当a3=1时,若a3=
,则a2=2,若a3=3a2+1,则a2=0,
故只能是a2=2. 若a2=
,则a1=4,若a2=3a1+1,则a1=
,故只能是a1=4. 综上所述:a1的值,即m的值只能是4或5或32. 答案：4或5或32 【变式备选】已知数列{an}中,a1=
,an+1=1-
(n≥2),则a16=　　　. 【解析】由题可知a
2=1-
=-1,a3=1-
=2,a4=1-
=
,∴此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16=
. 答案：
[ 13.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). ∴bn=
(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 =
+
+…+
, ∴cn+1-cn=
+
-
=
<0, ∴{cn}是递减数列. 14.【解析】(1)由原式得
=
+(2n+1).令bn=
, 则b1=
,bn+1=bn+(2n+1), 因此对n≥2有bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =(2n-1)+(2n-3)+…+3+
=n2-1+
, 因此an=(n2-1)cn+cn-1,n
≥2. 又当n=1时上式成立. 因此an=(n2-1)cn+cn-1,n∈N+. (2)两端同除以2n+1得,
=
·
+1, 即
+2=
(
+2), 即数列{
+2}是首项为
+2=
,公比为
的等比数列, 故
+2=
×(
)n-1,即an=5×3n-1-2n+1. 15.【解析
】(1)当n=1时,T1=2S1-1. 因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1. (2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1 =2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1　①, 所以Sn+1=2Sn+2n+1　②, ②-①得an+1=2an+2, 所以an+1+2=2(an+2), 即
=2(n≥2), 求得a
1+2=3,a2+2=6,则

=2. 所以{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以an+2=3·2n-1, 所以an=3·2n-1-2,n∈N+.

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