课时提升作业(二十六) 一、选择题 1.有下列四个命题: ①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥
b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是　(　　) (A)1　　　　(B)2　　　　(C
)3　　　　(D)4 2.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是　(　　) (A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b 3.(2013·渭南模拟)设向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值是　(　　) (A)
(B)1 (C)
(D)
4.(2013·南昌模拟)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角的正切值等于-
,则x的值为　(　　) (A)


(B)2[ (C)-2 (D)-2,
5.在△ABC中,
=1,
=2,则AB边的长度为　(　　) (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 6.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的范围是　(　　) (A)(1,+∞) (B)(-1,1) (C)(-1,+∞) (D)(-∞,1) 7.(2013·南平模拟)设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有　(　　) (A)a⊥b (B)a∥b (C)|a|=|b| (D)|a|≠|b| 8.已知O是△ABC内部一点,
+

+
=0,
·
=2
,且∠BAC=30°,则△AOB的面积为　(　　) (A)2 (B)1 (C)
(D)
9.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为　(　　) (A)
(B)
(C)
(D)
10.(能力挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且
⊥
,则向量
的坐标为　(　　)
(A)(-

,
) (B)(-
,
) (C)(-
,
) (D)(-
,
) 二、填空题 11.(2013·黄山模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5
,则|b|=　　　　. 12.如图,半圆的直径|AB|=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(
+
)·
的最小值是　　　　.
13.(2013·杭州模拟)以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向
上的投影为
;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则
·
=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中所有真命题的序号是　　　　. 14.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量
和
,它们的夹角为90°.如图所
示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若
=x
+y
,其中x,y∈R,则xy的范围是　　　　.
三、解答题 15.(2013·晋中模拟)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),
·
=5,
=10. (1)求D点的坐标. (2)设
=(m,2),若3
+
与
垂直,求
的坐标. 答案解析 1.【解析】选A.设a,b夹角为θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2; ②|a+b|与|a-b|大小不确定; ③正确;
④a∥b,当a,b同向时有a·b=|a|·|b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|.故不正确. 2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系. 【解析】选B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥b. 【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为
,那么下列结论中一定成立的是　(　　) (A)a=b (B)|a|=|b| (C)a⊥b (D)a∥b 【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|. 3.【解析】选C.∵|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2 =1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2 =t2+
t+1=(t+
)2+
≥
, ∴|u|≥
,故选C. 4.【解析】选C.∵a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角等于θ, ∴a·b=3x-6=
cosθ, ∴cosθ=
. ∵tanθ=-
,∴cosθ=-
. ∴
=-
, 整理得3x2-20x-52=0. 解得x1=-2,x2=
. 经检验x2=
是增根,x1=-2满足要求. ∴x=-2. 5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果. 【解析】选B.过点C作AB的垂线,垂足为D. 由条件得
=
=|
|cosA=|AD|=1,同理|BD|=2. 故|AB|=|AD|+|DB|=3. 6.【解析】选C.∵a与a+2b同向, ∴可设a+2b
=λa(λ>0), 则有b=
a.又∵|a|=
=
, ∴a·b=
·|a|2=
×2=λ-1>-1, ∴a·b的范围是(-1,+∞),故应选C. 7.【解析】选A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数. 而(xa+b)·(a-xb) =x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2, 故a·b=0.又∵a,b为非零向量, ∴a⊥b,故应选A. 8.【解析】选D.由
+
+
=0得O为△ABC的重心,∴S△AOB=
S△ABC. 又
·
=|
||
|cos30°=2
, 得|
||
|=4,∴S△ABC=
|
||
|sin30°=1. ∴S△AOB=
. 9.【解析】选B.由m⊥n可得m·n=0, 即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0, ∴b2-bc+c2-a2=0. 由余弦定理得cosA=
=
, 所以A=
. 10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π. 则
=(1,1),
=(cosθ,sinθ). 因为
⊥
,所以
·
=0, 即cosθ+sinθ=0, 解得θ=
, 所以
=(-
,
). 【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决. 11.【解析】∵50=|a+b
|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b
|2,∴|b|=5. 答案:5 12.【思路点拨】设|PO|=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数知识求解. 【解析】设|PO|=x,则|PC|=3-x(0≤x≤3), 则(
+
)·
=2
·
=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-
)2-
. ∵0≤x≤3, ∴当x=
时,(
+
)·
有最小值-
. 答案:-
13.【解析】设a,b的夹角为θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知 cosθ=±1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正确;②中a在b方向上的投影为|a|·cosθ=|a|·
=
=
,故正确;③中,由余弦定理得cosC=
=
,故
·
=-
·
=-5×8×
=-20,故错误.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误. 答案:①② 14.【解析】由
=x
+y
,得
=x2
+y2
+2xy
·
. 又|
|=|
|=|
|=1,
·
=0, ∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤
, 而点C在以O为圆心的圆弧AB上运动, 得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤
. 答案:[0,
] 15.【解析】(1)设D(x,y),
=(1,2),
=(x+1,y). 由题
得

∴
或
∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1). (2)∵3
+
=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),
=(m,2), ∵3
+
与
垂直,∴(3
+
)·
=0, ∴m+14=0,∴m=-
14,∴
=(-14,2). 【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t), C(ksinθ,t)(0≤θ≤
). (1)若
⊥a,且|
|=
|
|(O为坐标原点),求向量
. (2)若向量
与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求
·
. 【解析】(1)可得
=(n-8,t), ∵
⊥a, ∴
·a=(n-8,t)·(-1,2)=0, 得n=2t+8, 则
=(2t,t). 又|
|=
|
|,|
|=8. ∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8, 当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8. ∴
=(24,8)或
=(-8,-8). (2)∵向量
与向量a共线, ∴t=-2ksinθ+16, tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ =-2k(sinθ-
)2+
. ∵k>4,∴0<
<1,故当sinθ=
时,tsinθ取最大值
,有
=4,得k=8. 这时,sinθ=
,k=8,tsinθ=4,得t=8, 则
=(4,8), ∴
·
=(8,0)·(4,8)=32.

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