2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
1．(2012·豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝( )
A. B.
C. D.
2．(2012·山西省考前适应性训练)已知向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B.
C. D.
3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．2或－2
4．(2012·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D.
5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角θ为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
6．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B．3
C. D.
7．(2013·“江南十校”联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是________．
8．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
9．(2012·大连模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
12．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
2．(2012·山东实验中学四诊)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的射影为( )
A. B.
C．3 D．－
3．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(二十七)
A级
1．C 2.D 3.B 4.A
5．选B 将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得a·b＝0；
将|a－b|＝|a|两边同时平方得
b2＝a2，
所以cos θ＝＝＝.
6.选D 建系如图．
设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，
＝(xC－xB，yC)，
＝(－xB,1)，
∵＝，∴xC－xB＝－xB?xC＝(1－)·xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0,1)，·＝.
7．解析：设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，
∵|a|＝2，∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·cos θ＝－4，又|b|＝4，∴cos θ＝－，即θ＝.∴向量a，b的夹角为.
答案：
8．解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10.
∴|b|＝3.
答案：3
9．解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4.
∴向量＝(－8,8)，∴||＝8.
答案：8
10．解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝，
|b|＝，
∴cos 45°＝＝，
∴3n2－16n－12＝0(n>1)．
∴n＝6或n＝－(舍)．∴b＝(－2,6)．
(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.
又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．
∵(c－a)·a＝0，
∴λb·a－|a|2＝0.∴λ＝＝＝.
∴c＝b＝(－1,3)．
11．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a＋b|＝4.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.
∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
12．解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＋＝0，
所以a＋b与a－b垂直．
(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得
3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0.
而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
则×cos α＋×sin α＝0，
即cos(α＋60°)＝0，
所以α＋60°＝k·180°＋90°，
即α＝k·180°＋30°，k∈Z.
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.
B级
1．选B 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.
2．选A 由已知条件可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形，且∠A＝.又||＝||，所以∠C＝，∠B＝，AB＝，AC＝1，故在上的射影||cos＝.
3．解：(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∵∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
所以SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.
MZP
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