课时提升作业(二十五)
一、选择题
1.(2013·宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于 ( )
(A)-a+b (B)a-b
(C)-a-b (D)-a+b
2.(2013·蚌埠模拟)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+sinθ),若a∥b,则锐角θ等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
3.(2013·九江模拟)在□ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于
( )
(A)(-,5) (B)(-,-5)
(C)(,-5) (D)(,5)
4.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ( )
(A)(2,0) (B)(0,-2)
(C)(-2,0) (D)(0,2)
5.如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是 ( )
(A)c=b-a
(B)c=2b-a
(C)c=2a-b
(D)c=a-b
6.(2013·铜川模拟)已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )
(A)- (B)
(C)- (D)
7.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论:
①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;
②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;
③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;
④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.
其中正确结论的个数是 ( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为 ( )
(A)(x-1)2+(y-2)2=5
(B)3x+2y-11=0
(C)2x-y=0
(D)x+2y-5=0
9.(2013·黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α+β,则α+β的最大值是 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于 ( )
(A)3 (B)-3
(C) (D)-
二、填空题
11.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为 .
12.如图,在□ABCD中,=a,=b,=3,M是BC的中点,则= (用a,b表示).
13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= .
14.(2013·合肥模拟)给出以下四个命题:
①四边形ABCD是菱形的充要条件是=,且||=||;
②点G是△ABC的重心,则++=0;
③若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是等腰梯形;
④若||=8,||=5,则3≤||≤13.
其中所有正确命题的序号为 .
三、解答题
15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:
(1)求3a+b-2c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
答案解析
1.【解析】选B.设c=λa+μb,
∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),
∴∴
∴c=a-b.
2.【解析】选B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1×=0,
∴sinθ=±,
又θ为锐角,∴θ=45°.
3.【解析】选B.=-=-(+)=-(1,10)=(-,-5).
4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),
设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
则由解得
∴a=0m+2n,
∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).
5.【解析】选A.由=2得+=2(+),所以2=-+3,即c=b-a.
6.【解析】选D.=(2,5),由p∥得5(2k-1)-2×7=0,所以k=.
7.【解析】选B.(1)若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线,
∴解得k=-2.故①正确,②不正确.
(2)若e1与e2共线,则e2=λe1,有
∵e1,e2,a,b为非零向量,∴λ≠2且λ≠-k,
∴a=b,即a=b,这时a与b共线,
∴不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确.
综上,正确的结论为①④.
8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解.
【解析】选D.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
于是
由③得β=1-α代入①②,消去β得
再消去α得x+2y=5,
即x+2y-5=0.
【一题多解】由平面向量共线定理,得当=α+β,α+β=1时,A,B,C三点共线.
因此,点C的轨迹为直线AB,
由两点式求直线方程得=,
即x+2y-5=0.
9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P(x,y),求出α+β与x,y的关系,运用线性规划求解.
【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).
∴=(x,y),=(0,1),=(3,0).
∵=α+β,
即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),
∴∴
∴α+β=+y.
由线性规划知识知在点C(1,1)处+y取得最大值.
10.【思路点拨】根据向量的共线求出tanα,再利用三角变换公式求值.
【解析】选B.∵a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,
∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.
∴tan(α-)===-3,故选B.
【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法
向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.
11.【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知=,
即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,
∴D(0,-2).
答案:(0,-2)
12.【解析】由题意知=+
=+=-
=-(+)
=--=-+
=-a+b.
答案:-a+b
13.【解析】由a=(1,2),a-b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).
由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1.
答案:-1
14.【解析】对于①,当=时,则四边形ABCD为平行四边形,又||=||,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则=,且||=||,故①正确;对于②,若G为△ABC的重心,则++=0,故不正确;对于③,由条件知=-,所以∥且||>||,
又||=||,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于④,当,共线同向时,||=3,当,共线反向时,||=8+5=13,当,不共线时3<||<13,故正确.综上正确命题为①③④.
答案:①③④
15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).
(2)∵a=mb+nc,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
(3)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
∴k=-.
【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x,使两向量,共线.
(2)当两向量与共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?
【解析】(1)=(x,1),=(4,x).
∵∥,
∴x2-4=0,即x=±2.
∴当x=±2时,∥.
(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
∴∥.此时A,B,C三点共线,
从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.
但x=2时,A,B,C,D四点不共线.
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