高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用
1．在同一平面内中，在A处测得的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )
A. B. C. D.
2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
3．(2012·天津高考) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A. B．－ C．± D.
4．(2013·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)0.
则cos A＝>0，
∵0.
因此得角A的取值范围是.
5．选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠BCA＝45°.
又AB＝40×＝20(海里)，
∴由正弦定理可得＝.
∴BC＝＝10(海里)．
6．选B ∵AB＝1 000×1 000×＝ m，
∴BC＝·sin 30°＝ m.
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
7．解析：三角形空地的面积S＝×12×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝27 000元．
答案：27 000
8．解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，则v＝32.
答案：32
9．解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
10．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得cos∠ADC＝
＝＝－，∴∠ADC＝120°，
∴∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝
＝＝＝5.
11．解：由题意，设AC＝x，则BC＝x－×340＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，
所以CH＝AC·tan ∠CAH＝140.
答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．
12．解：在△ACD中，∠ACD＝45°，CD＝6，∠ADC＝75°，
所以∠CAD＝60°.
因为＝，
所以AD＝＝＝2.
在△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝6，∠BDC＝15°，
所以∠CBD＝135°.
因为＝，
所以BD＝＝＝3.
又因为在△ABD中，∠BDA＝∠BDC＋∠ADC＝90°，
所以△ABD是直角三角形．
所以AB＝＝＝.
所以电线长度至少为l＝1.2×AB＝(单位：km)
答：施工单位至少应该准备长度为 km的电线．
B级
1．解析：AB＝＝84，
tan∠CAB＝＝＝.由＝tan(45°＋∠CAB)＝＝得CD＝169.
答案：169
2．解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，
∴＝.∴x＝ m.
答案： m
3．解：(1)连接BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
∴BC＝10，即所求距离为10海里．
(2)∵＝，
∴sin θ＝ .
∵θ是锐角，∴cos θ＝ .
f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x＝sin x＋cos x
＝sin，
∴f(x)的值域为.
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