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课时提升作业(二十一)
一、选择题
1.计算1-2sin222.5°的结果等于( )
(A) (B) (C) (D)
2.·等于( )
(A)-sinα (B)-cosα (C)sinα (D)cosα
3.(2013·铜陵模拟)已知x∈(-,0),cosx=,则tan 2x等于( )
(A) (B)- (C) (D)-
4.已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为π,则函数的一条对称轴可能是( )
(A)x= (B)x= (C)x= (D)x=
5.已知函数f(x)=-asincos(π-)的最大值为2,则常数a的值为( )
(A) (B)-
(C)± (D)±
6.(2013·西安模拟)若cosα=-,α是第三象限的角,则等于( )
(A)- (B) (C)2 (D)-2
二、填空题
7.(能力挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,化简= .
8.(2013·上饶模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是 .
9.已知函数f(x)=sin2x+sin2x,则函数f(x)在[-,0]上的递增区间为 .
三、解答题
10.(2013·阜阳模拟)已知函数f(x)=2sin(2x-)+2cos 2x.
(1)若tanx=-,求函数f(x)的值.
(2)若x∈[0,]时,求函数f(x)的单调区间.
11.(2013·合肥模拟)已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.
12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图像关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.
答案解析
1.【解析】选B.1-2sin222.5°=cos45°=.
2.【解析】选D.原式=·
=·
=cosα.
3.【解析】选D.∵x∈(-,0),cosx=,
∴sinx=-,∴tanx=-,∴tan 2x===-.
4.【解析】选D.∵f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)
=sin(2ωx-).
又最小正周期为π,故=π得ω=1.
∴f(x)=sin(2x-).
故当x=时,2×-=-=,此时f(x)取得最大值,
故一条对称轴为x=.
5.【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得a.
【解析】选C.因为f(x)=+asinx
=(cosx+asinx)=cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=±.
6.【解析】选A.==
=
==,
∵cosα=-,α为第三象限角,
∴sinα=-=-,
∴原式==-.
7.【解析】原式==.
∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).
而tan2θ==-2.
∴tan2θ-tanθ-=0,
即(tanθ+1)(tanθ-)=0.
故tanθ=-或tanθ=(舍去).
∴==3+2.
答案:3+2
8.【解析】由y=f(x)的图像的一条对称轴为x=得f(0)=f(π),即sin 0+
acos 0=sin+acos,即a=--a,解得a=-,则g(x)=-sinx+cosx=(cosx-sinx)
=cos(x+),
故g(x)的最大值为.
答案:
【方法技巧】三角恒等变换的特点
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
9.【解析】f(x)=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
又-≤x≤0,
∴-≤x≤0.
即所求递增区间为[-,0].
答案:[-,0]
10.【解析】(1)f(x)=2(sin 2x-cos 2x)+2cos 2x
=(sin 2x+cos 2x)
=(2sinxcosx+cos2x-sin2x)
=
=
==.
(2)由(1)知f(x)=(sin 2x+cos 2x)
=2sin(2x+),
∵0≤x≤,
∴≤2x+≤,
∴当≤2x+≤,即0≤x≤时,函数f(x)是增加的;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)是减少的;
即函数的递增区间为[0,],递减区间为[,].
【方法技巧】解决三角函数的单调性及最值(值域)问题主要步骤有:
①三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的形式.
②根据sinx,cosx的单调性解决问题,将“ωx+φ”看作一个整体,转化为不等式问题.
③根据已知x的范围,确定“ωx+φ”的范围.
④确定最大值或最小值.
⑤明确规范表述结论.
11.【思路点拨】先根据条件求出cos(θ+),然后用倍角公式求解.
【解析】∵|m+n|=,
∴|m+n|2=m2+n2+2m·n=,
即(cos2θ+sin2θ)+[(-sinθ)2+cos2θ]+
2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]=,
整理得(cosθ-sinθ)=,
∴cos(θ+)=,
∴2cos2(+)-1=,
∴cos2(+)=,
∵π<θ<2π,
∴<+<,
∴cos(+)=-.
12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin(ωx+φ),
∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.[来源:学科网]
又∵0≤φ≤π,∴φ=.
∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.
又f(x)关于(,0)对称,
故ω=kπ+,k∈Z.
即ω=+,k∈Z.
又ω>0,故k=0,1,2,…
当k=0时,ω=,f(x)=cosx在[0,]上是减少的.
当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减少的.
当k=2时,ω=,f(x)=cosx在[0,]上不是单调函数,
当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,
综上,ω=或ω=2.
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