湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：概率
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
2．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是( )
A．至多有一件是次品 B． 两件都是次品
C．只有一件是次品 D．两件都不是次品
【答案】D
3．在某一试验中事件A出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为( )
A．1－ B． C．1－ D．
【答案】D
4．随机变量的分布列（1，2，3，4），其中P为常数，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
5．从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中任意抽取3个，下列事件是必然事件的是( )
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
【答案】D
6．若((B(2, p)，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
7．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，如果按性别依比例分层随机抽样，试问组成此课外学习小组的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
8．已知随机变量X的分布列如右表，则=( )
A．0.4 B．1.2 C． 1.6 D．2
【答案】C
9．从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人按系统抽样方法选取，则每人入选的概率( )
A．不全相等 B均不相等 C．都是 D．都是
【答案】C
10．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
11．记事件A发生的概率为P(A)，定义f(A)=[P(A)+]为事件A 发生的“测度”.现随机抛掷一个骰子，则下列事件中测度最大的一个是( )
A．向上的点数为1 B．向上的点数不大于2
C．向上的点数为奇数 D．向上的点数不小于3
【答案】A
12．已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为，则事件发生的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设随机变量的分布列为,则的值为 ．
【答案】
14．已知随机变量服从正态分布，则等于________
【答案】0.16
15．设都是定义在R上的函数，且在数列中，任取前k项相加，则前k项和大于的概率为
【答案】
16．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ．
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得-1分.
(Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
(Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
【答案】（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为-2、0、2，则ξ概率分布为：
Eξ=-2×+0×+2×=
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为
(Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
18．公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于今年4月1日起正式施行.酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）.
依据上述材料回答下列问题：
(1）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；
(2）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a,b,c,d表示）
【答案】（1）由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，
则违法驾车发生的频率为：或;
酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为.
(2）设酒后驾车的4人分别为A、B、C、D；醉酒驾车的2人分别为a、b
则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：(A，B)，(A，C)，(A ，D)，(A，a)，
(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，
(a，b)共有15个.
设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E，
则事件E含有9个结果：(A，a)，(A，b)，
(B，a)，(B，b) ，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b).
∴
19．为了对高中新课程课堂教学的有效性进行课题研究，用分层抽样的方法从三所高中A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
(I）求x，y；
(II）若从高中B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高中C的概率。
【答案】（I）由题意可得，，所以
(II）记从高中B抽取的2人为，从高中C抽取的3人为c1,c2,c3，则从高中B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有
共10种
设选中的2人都来自高中C的事件为X，则X包含的基本事件有,,共3种，因此P（X）=
故选中的2人都来自高中C的概率为。
20．袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同．从袋中同时取出2个球．
(1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m 必为奇数；
(2）若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m+n≤40的所有数组(m，n)．
【答案】 (1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)，
则有
∴＝kmn．
∵k∈Z，n∈Z，∴m=2kn+1为奇数．
(2)由题意,有，∴=mn,
∴m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n，
∴m≥n≥2，所以m+n≥4，∴2≤m-n≤<7，
∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6，相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，
即或或或或
解得或或或或
注意到m≥n≥2．
∴(m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)．
21．学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。
(I）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
(II）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
(III）求投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望。
【答案】 (Ⅰ)3名学生选择了3门不同的选修课的概率为
(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
(Ⅲ) 设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3
P(＝0)＝ P(＝1)＝
P(＝2)＝ P(＝3)＝
的分布列是
22．九江一中举办110年校庆知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“九江一中老校区” 或“九江一中新校区”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“九江一中新校区”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.
(I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“九江一中新校区”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“九江一中老校区”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
(II）现有甲、乙、丙、丁四位同学依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及， 的值.
【答案】（I）设“九江一中老校区”卡有张，由
故“九江一中新校区”卡有4张，抽奖者获奖的概率为
(II）；
，
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