湖南科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：直线与圆
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且。若直线PA的方程为，则直线PB的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
2．过点（1，-1）且与直线垂直的直线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
3．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为( )
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
4．已知直线的倾角为，直线垂直，直线：平行，则等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】B
5．直线（）的倾斜角范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
6．一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
7．曲线的中心到直线的距离是( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
8．直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
【答案】D
9．设直线的倾斜角为，且则满足( )
A． B． C． D．
【答案】D
10．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
11．已知空间中两点，，且，则( )
A． 1或2 B． 1或4 C． 0或2 D． 2或4
【答案】D
12．已知点及圆 ，则过点，且在圆上截得的弦为最长的弦所在的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知两条直线若，则____________
【答案】2
14．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是????????? .
【答案】3x-2y-3=0
15．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的____________条件．
【答案】充要
16．已知正数x，y满足2x+y-2 =0，则的最小值为 ．
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的方程。
【答案】 解法一：设圆心C的坐标为(0,b)，由|CA| = |CB|得：
解得：b = 2
∴C点的坐标为(0,2)
∴圆C的半径 = |CA| =
∴圆C的方程为：x2 + (y－2)2 = 5 即x2 + y2－4x－1 = 0
解法二：AB的中点为(,)，中垂线的斜率为－1
∴AB的中垂线的方程为y－ = －(x－)
令x = 0求得y = 2，即圆C的圆心为(0,2)
∴圆C的半径 = |CA| =
∴圆C的方程为：x2 + (y－2)2 = 5 即x2 + y2－4x－1 = 0
18．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M： ＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1）求圆C的方程；
(2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
(3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
【答案】（1）设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为＋＝，将点P的坐标代入，得＝2，故圆C的方程为＋＝2．
(2）设Q(x，y)，则＋＝2，且＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝＋＋x＋y－4＝x＋y－2，所以的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．
(3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设
PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．
由得＋2k(1－k)x＋－2＝0．
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得＝，
同理＝．
所以＝＝＝＝1＝．
所以直线OP和AB一定平行．
19．已知圆，圆的圆心在轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点（点A在点B上方）
(Ⅰ）圆D的圆心在什么位置时，圆D与x轴相切；
(Ⅱ）在x轴正半轴上求点P，当圆心D在y轴的任意位置时，直线AP与直线BP的夹角为定值，并求此常数.
【答案】（Ⅰ）设D（0，a）
(Ⅱ）证明：假设存在点P（x0，0）,,圆D的方程为.
解法一：设直线AP、BP的倾斜角分别为，则
直线AP与直线BP的夹角为定值,.
,因为,所以点P的坐标为.
，直线AP与直线BP的夹角为 ·
解法二 ：
的面积为
,
所以,点P的坐标为,直线AP与直线BP的夹角为
20．已知圆．
(1）过点作圆的切线，求切线的方程；
(2）若圆的弦的中点，求所在直线方程．
【答案】由得圆的标准方程为
(1）显然为圆的切线．
另一方面，设过的圆的切线方程为，即；
所以解得
于是切线方程为和．
(2）设所求直线与圆交于两点，其坐标分别为
则有
两式作差得
因为， 所以
故所求直线方程为
21．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．
(Ⅰ)试求圆的方程．
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程．
【答案】(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是．
(Ⅱ)设直线的方程是:．因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:．
所以直线的方程是: ．
22．已知为圆上的动点，
(1）求的最大值和最小值；（2）求的取值范围．
【答案】（1）设Q（-2，3）则x2+y2-4x+6y+13=(x+2)2+(y-3)2=|PQ|2
|PQ|max==|CQ|+R=,|PQ|min==|CQ|-R=
所以原式的最大值为72，原式的最小值为8
(2）依题意，k为(-2,3)与圆C上任意一点连线的斜率，它的最大值和最小值分别是过（-2，3）的圆C的切线的斜率，所以kmax=tan()=2+, kmin=tan()=2-(注意kQC=1)，。
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