上海市复兴高级中学高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2、通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，
即.
3、递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
4、数列的前项和与通项的公式 ①； ②.
5、 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6、 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何,均有.
②递减数列:对于任何,均有.
③摆动数列:例如:
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数使.
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
知识点： 一、等差数列
1、等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数
称为等差数列的公差.
2、通项公式与前项和公式
⑴通项公式，为首项，为公差.
⑵前项和公式或.
3、等差中项 ；如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4、等差数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列.
5、等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；(,是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
二、等比数列
1、等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数
列，常数称为等比数列的公比.
2、通项公式与前项和公式
⑴通项公式：，为首项，为公比 .
⑵前项和公式：①当时，
②当时，.
3、等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，，成等差数列.
4、等比数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等比数列；
⑵中项法：()且是等比数列.
5、等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.
⑶
⑷若，则；
⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.
三、典型例题
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
（1）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知为等差数列的前项和，，求；
2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.
（2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知为等差数列的前项和，，则 ；
2、设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
3、设是等差数列的前n项和，若（ ）
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（ ）
5、已知为等差数列的前项和，，则 .
6、在正项等比数列中，，则_______。
7、已知数列是等差数列，若 ,且,则_________。
8、已知为等比数列前项和，，，则 .
9、在等差数列中，若，则的值为（ ）
10、在等比数列中，已知，，则 .
11、已知为等差数列，，则
12、等差数列中，已知
B、求数列通项公式
（1） 给出前几项，求通项公式
3，-33,333，-3333,33333……
（2）给出前n项和求通项公式
1、⑴； ⑵.
2、设数列满足，求数列的通项公式
（3）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
例：已知数列中，，求数列的通项公式；
b、已知关系式，可利用迭乘法.
例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；
c、构造新数列
1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解
例、，求数列的通项公式.
3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.
4°递推关系形如",两边同除以
例1、已知数列中，，求数列的通项公式.
例2、数列中，，求数列的通项公式.
d、给出关于和的关系
例1、设数列的前项和为，已知，设，
求数列的通项公式．
例2、设是数列的前项和，，.
⑴求的通项；
⑵设，求数列的前项和.
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
求证：{}是等差数列；
2）证明数列等比 例1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；
例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；
例3、已知为数列的前项和，，.
⑴设数列中，，求证：是等比数列；
⑵设数列中，，求证：是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.
例4、设为数列的前项和，已知
⑴证明：当时，是等比数列；
⑵求的通项公式
例5、已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若数列满足证明是等差数列.
D、求数列的前n项和
基本方法：
1）公式法，
2）拆解求和法.
例1、求数列的前项和.
例2、求数列的前项和.
例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）
2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；
例1、求和：S=1+
例2、求和：.
3）倒序相加法，
例、设，求：
⑴；
⑵
4）错位相减法，
例、若数列的通项，求此数列的前项和.
5）对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
例1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时， .
例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；
例3、数列中，，求取最小值时的值.
例4、数列中，，求数列的最大项和最小项.
例5、设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
例6、已知为数列的前项和，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.
例7、非等比数列中，前n项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。
F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?
例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的
8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.
⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示
；
⑵求数列的第项；
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)
上海市虹口区复兴高级中学高三年级第一学期数学复习 (数列部分)
一、填空题
1.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列，则＝ 。
2.．互不相等的三个实数x,y,z成等差数列，且x,z,y成等比数列，则x:y:z= 。
3． 已知数列的通项公式则= 。
4．各项均为正数的等比数列{an}，若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10= 。
5．等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，对一切自然数n都有， 则 等于
6已知等比数列的各项均为正数，公比Q=，则P与Q的大小关系是 .
7. 已知等式1?22+2?32+…+n?(n+1)2=n(n+1)(an2+bn+10)对一切自然数n 都成立，那么a= b=
8．在等差数列中，则=_ 。
9．在等比数列中，已知则_________.
10．若，数列的前n项和Sn=5，则n=_________。
11．是等差数列，S10＞0，S11＜0，则使＜0的最小的n值是 .
12．以下四个命题中
①{an}A.P.且p、q、r(N，则“ap、aq、ar成等差数列”的充要条件是“p、q、r成等差数列”
②“ ” 是“ a、b、c 成等比数列的必要不充分条件”；
③“{lgan}成A.P.”是“{an}成等比数列”的充分不必要条件；
④ m、n、p、r(N，{an}是等比数列 ，“m+n=p+r”是“aman=apar”充要条件。
真命题个数为 。
二、选择题
13．．已知数列的首项，又满足则该数列的通项等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
14．数列中，，又数列是等差数列，则= （ ）
（A）0 （B） （C） （D）－1
15．在等差数中，若则等于 （ ）
（A）90 （B）100 （C）110 （D）120
16．设是由正数组成的等比数列，公比且
则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．等差数列共有项，其中
则的值为 （ ）
（A）5 （B）3 （C）7 （D）9
18．已知顺次成等差数列，则 （ ）
（A）有最大值，无最小值 （B）有最小值，无最大值
（C）有最小值，最大值1 （D）有最小值 -1，最大值1
三、解答题
19.已知{an}是等差数列, 且an ≠ 0, (n(N), 公差d ≠ 0. 设方程anx2+2an+1x+an+2= 0是关 于x的一组方程.
(1)求这组方程的公共根;(2)证明: 如果上述方程的另一个根为bn , 则数列{}是等差数列.
20． (本小题满分14分)在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=１，
且a1=b1，a2=b2，a6=b3
（Ⅰ）求公差和公比；（Ⅱ）是否存在实数a,b，使得对于一切自然数n都有+ｂ成立，若存在求出； 若不存在，说明理由.
21．设An为数列{an}的前n项和，An=(an-1）(n(N)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3（n(N)，（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{cn}，求{cn}的通项公式；。
22.(本小题满分14分)
在西部大开发中某公司投资兴办甲、乙两个企业，2000年甲企业获利润320万元，
乙企业获利润720万元，以后每年企业的利润甲以上年利润的1.5倍速度递增，而乙企
业是上年利润的，预期目标为两企业年利润之和是1600万元，从2000年年初起
（Ⅰ）哪一年两企业获利润之和最小，最小值是多少?
（Ⅱ）经过几年即可达到预期的目标(精确到年).
上海市虹口区复兴高级中学高三年级第一学期数学复习 (数列部分答案)
一、填空题
1.6/7 2. 4：1：(-2) 3.50 4.10 5. 6.P>Q 7.3,11 8.10 9.4 10.35 11.6 12.1
二、选择题13,B 14,B 15,B 16,B 17,B 18,B
三、解答题19.解：（1）由已知2an+1=an+an+2 又由anx2+2an+1x+an+2= 0 ( (x+1)(anx+an+2)=0
所以x= -1是这组方程的公共根; 方程的另一个根为bn=x= - ( -得证
（2）由已知2an+1=an+an+2 又由anx2+2an+1x+an+2= 0 ( (x+1)(anx+an+2)=0
所以x= -1是这组方程的公共根;方程的另一个根为bn=x= - ( -得证.
20．解：(Ⅰ)设公差为d(d≠0)，公比为q 1分
由条件：b1=1,且a2=b2,a6=b3∴ 解得d=3 q=4 6分
(Ⅱ)若存在a、b对一切自然数n都有an=logabn+b即由(1)得 8分
∴3n-2=loga4n-1+b ∴(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0恒成立
∴ 12分
∴ 14分
21．解：（1）An=(an-1)，( An+1=(an+1-1)，相减 ( An+1-An=an+1-an，(an+1=an+1-an，( an+1=3an(n(N)
a1=(a1-1) ( a1=3，( 数列{an}是以3为首项，3为公比的等到比数刑，( an=3n 。
（2）a1=3，a2=9，{bn}的项，a3=27=4(6+3=b6，∴ c1=a3=b6=27，设cn=am=bp，( 3m=4p+3，
数列an+1=3m+1=3(3m=3(4p+3)=4(3p+2)+1，∴am+1不是{bn}的项，
又an+2=3m+2=9(3m=9(4p+3)=9(9p+6)+3，∴am+1是{bn}的项，∴
=9，(Cn=c1(qn-1=27(9n-1=32n+1，故{cn}的通项公式为Cn=32n+1 。
22.解：(Ⅰ)设从2000年起，第n年获利润为yn由条件： 3分
≥=2×480=960 5分当且仅当 6分
即∴n=2时取“=”.故第二年即2001年上交利润最少，共960万元---7分
(Ⅱ)由题意：≥1600化简为： 9分设，原不等式化为4t2-20t+9≥0解得：t≥或t≤ (舍) 1 2分
由t≥得≥ ∴n≥ 13分∴n=5，即经过5年可达到预期目标 14分
补充练习：
（一）选择题
1．有限数列的前项和为，定义为的“凯森和”，如果有99项的数列的数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列的“凯森和”为（ ）A．1001 B．999 C．991 D．990
2．已知数列满足若，则（ ）
A． B． C． D．
3．有一个塔形几何体由若干正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面的各边中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
4．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数图象是（ ）
A B C D
5．数列的前项和，其中是非零常数，
则存在数列使得（ ）
A．，其中为等差数列，为等比数列
B．，其中和都为等差数列
C． ，其中为等差数列，为等比数列
D．，其中和都为等比数列
6． 令，给定，考察由定义的数列，其中使数列只取有限个不同的数值的实数的值有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
（二）填空题
7．设函数的导数为，则数列的前项和是
8．当成等差数列时，有；当成等差数列时，有，由此可归纳出当成等差数列时，
有
如果成等比数列时，类比上述方法，归纳出的等式为
9．使用计算器依照预先编制的程序进行计算，当依次输入两个数据为1和1时，输出的结果为2；若依次输入两个数据为和时，输出的结果为；依次输入两个数据为和时，输出的结果为；则当依次输入两个数据为1和时，输出的结果为
10．阿诺卡塔游戏
玩法：现有中间带孔的圆木片，这些圆木片以从大到小的次序穿在一根竹竿上，现在的任务是将这堆圆木片穿到其他一根竹竿上，但必须遵循如下规则：
圆木片只能一一搬动；
大的木片只能放在小的木片下面；
搬动的次数尽可能少
现有5块圆木片组成的阿诺卡塔，
问至少移动 次能完成任务。
（三）解答题
11．数列的前项和为
（I）求证：为等差数列（II）设，求数列的通项
12．已知数列中，且，其中
（I）求（II）求的通项公式
13．已知函数的最大值不大于，又当时，
（I）求的值
（II）设，证明
14．如图，的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，对于每个正整数，为线段的中点，令的坐标为，
（I）求及
（II）证明
（III）若记，证明是等比数列
参考答案
选择1．C 2．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｃ ６．Ｄ
填空7． 8． 9． 10．31
解答11．（I）由得故为等差数列
（II），，
12．（I）（II）
13．（I）=1（II）当时，成立 当时，
假设时成立，即成立
当时，由于在递增
故故当时也成立
14．（I） 由题意得
故，故=2
（II）两边除以2得又
故
（III）
故是等比
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1．设是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足的整数k,
数列确定. 记.
（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值.
（I）解：显然 当
所以，
（II）解：
当
所以，M的最小值为
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和（n∈N*）
（1）若数列{an}单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，求证：
（2）数列{an}的公差为d，且问是否存在正的常数c，使得等式
对任意正整数n都成立.若存在，求c（用d表示）；若不存在，请说明理由.
解：记等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得d=2a1所以
于是
故
（2）假设存在正常数c，使得等式恒成立
又
所以当n=1时，有整理变形得
两边平方化简得接下来证明：当时，对任意正整数n都成立
∴存在正常数
使得等式对任意正整数n都成立
3．已知数列R）对于
（I）当 （II）若a满足，求数列的通项；
（III）证明：满足≤3的自然数n存在.
解：（I）
因此，
（II）
∴猜想对于任意正整数l有
下面用数学归纳法证明对
（i）满足对
（ii）假设当
由（i）（ii）可知对任意 同理可证
（III）假设对所有的n，，
知数列是首项为a，公差为－3的等差数列.
对于充分大的n，会有，这与假设矛盾，∴假设错误，
∴有满足的自然数n存在
4．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有，记Sn为数列{an}的前n项和.
（1）求证：=2Sn－an；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意 n∈N+，都有bn+1>bn.
解：（1）在已知式中，当n=1时， ∵a1>0 ∴a1=1
当n≥2时， ① ②
①－②得， ∵an>0 ∴=2a1+2a2+…+2an－1+an，
即=2Sn－an ∵a1=1适合上式∴=2Sn－an(n∈N+)
（2）由（1）知=2Sn－an(∈N+) ③当n≥2时， =2Sn－1－an－1 ④
③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n=n
（3）∵
∴ ⑤
当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为 ⑥
依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为 ⑦
依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴ ∴
∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn
5．如图,将圆分成个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为.
(Ⅰ)求, ,,；
(Ⅱ)求与的关系式；
(Ⅲ)求数列的通项公式,并证明.
解：（Ⅰ） 当n=1时，不同的染色方法种数a1=3 ，
当n=2时，不同的染色方法种数a2 =6 ，
当n=3时，不同的染色方法种数a3=6 ，
当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数a4=3×1×2×2+3×2×1×1=18
（Ⅱ）依次对扇形区域1,2,3,…n,n+1染色，不同的染色方法种数为3×2n，其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种，扇形区域1与n+1同色的有an种∴an+ an+1=3×2n （n ≥2）
（Ⅲ）∵an+ an+1=3×2n （n ≥2）∴a2+a3 =3×22 a3 +a4 =3×23………………an-1+ an=3×2n-1
将上述n-2个等式两边分别乘以(-1)k (k=2,3…, n-1)，再相加，得
，
∴an=2n +2 (-1)n，从而
（Ⅲ）证明：当n=1时，a1=3 >2×1,
当n=2时，a2=6 >2×2，当n ≥3时，
故an≥2n (n∈N*).
6．如图所示的树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度.
（Ⅰ）求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；（Ⅱ）求第n层树形图的高度Hn；
（Ⅲ）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”.显然，当时是“矮小”的，是否存在.使得当时，该树形图是“高大”的?
解：(Ⅰ)设题中树形图（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，
则，
所以，第三层树形图的高度.
第四层树形图的高度.
（Ⅱ）易知，所以第n层树形图的高度为，
所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为
；
当为偶数时，第n层树形图的高度为
.
（Ⅲ）不存在.由（Ⅱ）知，当为奇数时，
；
当为偶数时，，
由定义，此树形图是永远是“矮小“的.所以不存在.使得当时，该树形图是“高大”的.
7．我们把数列叫做数列的k方数列（其中an>0，k，n是正整数），S（k，n）表
示k方数列的前n项的和。
（1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；
（2）若数列的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求数列的k方数列通项公式。
（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。
解：（1）S（1，2）=
∴S（1，2）·S（3，2）－[S（2，2）]2
=
=
=
∵
（2）设 则 ……① ……②
∴②－①得 2d2=0，∴d=p=0 ，∴
（3）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n）
证明：，
相减得：，∴
相减得：
∴
8．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数，其中
a11
a12
a13
a14
a15
…
a1j
…
a21
a22
a23
a24
a25
…
a2j
…
a31
a32
a33
a34
a35
…
a3j
…
a41
a42
a43
a44
a45
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
…
（I）求q的值； （II）求aij的计算公式；
（III）设数列{bn}满足的前n项和为Sn，试比较 的大小，
并说明理由.
解：（I）设第4列公差为d，则
故.由于
（II）在第4列中，. 由于第i行成等比数列，且公比，
所以，
（III）由（II）
可得
设，
所以又，所以在
因此函数单调递增
所以是递增数列 同理设，
所以是递减数列
容易计算，
，
显然，所以当
9．已知递增数列满足：，且成等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式，（Ⅱ）若数列满足：
证明：，②记，证明：
10．在数列中，，，
（Ⅰ）若对于，均有成立，求的值；
（Ⅱ）若对于，均有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明：
① ； ② 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.
（Ⅰ）解：依题意，，所以，解得，或，符合题意.
（Ⅱ）解： 解不等式，即， 得
所以，要使成立，则
（1）当时，，
而，即，不满足题意.
（2）当时，，，，满足题意.
综上，.
（Ⅲ）解：构造数列：， . 那么 . 不妨设取，
那么，，，，
...由，可得， （，）.
因为，所以.
又，所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意.
11．已知数列的前项和 满足：数列的通项公式为
（I）求数列的通项公式； （II）试比较与的大小,并加以证明；
（III）是否存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上?说明理由.
解：（I）
两式相减得 又
即数列是首项为公比为的等比数列,其通项公式是
另解一:
即数列是首项为公比为的等比数列,通项公式是当时,
又
（II）(1)当时,
(2)当时,
(3)当时,
即
（III）不存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上 …………10分
假设存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点即落在圆C上
不妨设设圆C的方程为:
从而 ①
②
③
由①②, ②③得
即 ④ ⑤
由④⑤得
整理得,
作函数由
知函数是增函数
产生矛盾
故不存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上 …14分
12 （本小题满分13分）
给定一个项的实数列，任意选取一个实数，变换将数列变换为数列，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称， ，…，为 “次归零变换”
（Ⅰ）对数列：1,2,4,8，分别写出经变换，，后得到的数列；
（Ⅱ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “次归零变换”，其中；
（Ⅲ）证明：对任意项数列，都存在“次归零变换”.
12 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）：1,0,2,6;：2,3,1,3;：2,1,3,1.
（Ⅱ）方法1：：3,1,1,3;：1,1,1,1;：0,0,0,0．
方法2：：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,0.
（Ⅲ）记经过变换后，数列为．
取 ,则，即经后，前两项相等；
取，则，即经后，前3项相等；
继续做类似的变换，取，（），经后，得到数列的前项相等．特别地，当时，各项都相等，最后，取，经后， 数列各项均为0.所以必存在次“归零变换”．
（注：可能存在次“归零变换”，其中）．
上海市复兴高级中学高三数学数列专题检测
一、选择题
1.在等差数列中，若++++=120，则2-的值为 （ ）
A、20 B、22 C、24 D、28
2.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足 （ ）
A．q>1 B．q<1 C．01，且，则m等于（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
10.北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）
A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%
二、填空题
11.设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，求数列{an}的通项公式__________________.
12.已知等比数列及等差数列，其中，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.
13.设{an}是首项是1的正项数列, 且 0(n＝1.2,3,…),则它的通项公式＝ ______________.
14. 已知，把数列的各项排成三角形状；
……
记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）= .
三、解答体
15.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式.
16. 已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，y4=17, y7=11
(1)证明：为等差数列；（2）问数列的前多少项的和最大，最大值为多少？
17.已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令求数列前n项和的公式.
18. 假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：
（Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？
（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
19. 已知数列，且, , 其中k=1,2,3,…….
（Ⅰ）求，（II）求通项公式.
20. 已知点Pn(an,bn)都在直线：y=2x+2上，P1为直线与x轴的交点，数列成等差数列，公差为1.（n∈N+）
（1）求数列，的通项公式；
（2）若f(n)= 问是否存在k,使得f(k+5)=2f(k)－2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
（3）求证： （n≥2，n∈N+）
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
B
B
A
B
A
C
B
二、填空题
11. （n∈N*） 12.978 13. 14.
三、解答题
15. 证明：因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，,于是 ，即，化简得
（2）解：由条件和，得到，由（1），，代入上式得，故 ，，
16. （1）
y
∴
(2)y ∴3d=－6 d=－2 y
当n=12时，S有最大值144.
∴前12项和最大为144.
17.(Ⅰ）解：设数列公差为，则 又所以
（Ⅱ）解：令则由得
①
②
当时，①式减去②式，得
所以
当时,
综上可得当时,；当时，
18. 设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；
设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。
方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋=63000元；
(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：
Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋=500n2＋500n
T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋=600n2＋300n 令T2n≥Sn即：600n2＋300n>500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。
19. （I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an = 当n为偶数时，
20. 1) P ∴ ∴
(2)若k为奇数 若k为偶数
则f(k)= 则f(k)=2k－2
f(k+5)=b f(k+5)=k+3
2k+8=2k－4－2 k+3=4k－4－2
无解： q=3k
这样的k不存在 k=3(舍去)无解
（3）
= n
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