1.1.1集合的含义与表示
一、选择题
1．方程组的解集是( )
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
[答案] D
[解析] 解方程组得
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.
2．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A．4 B．5
C．10 D．12
[答案] D
[解析] 12能被x＋3整除．∴y＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.
3．集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．无数个
[答案] C
[解析] 两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素，因此选C.
4．已知a、b、c为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是( )
A．0?M B．－4?M
C．2∈M D．4∈M
[答案] D
[解析] a、b、c皆为负数时代数式值为－4，a、b、c二负一正时代数式值为0，a、b、c一负二正时代数式值为0，a、b、c皆为正数时代数式值为4，∴M＝{－4,0,4}．
5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}
B．{(x，y)|x＝0且y＝0}
C．{(x，y)|xy＝0}
D．{(x，y)|x，y不同时为零}
[答案] C
[解析] 在x轴上的点(x，y)，必有y＝0；在y轴上的点(x，y)，必有x＝0，∴xy＝0.
6．集合M＝{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}的意义是( )
A．第二象限内的点集
B．第四象限内的点集
C．第二、四象限内的点集
D．不在第一、三象限内的点的集合
[答案] D
[解析] ∵xy≤0，∴xy＜0或xy＝0
当xy＜0时，则有或，点(x，y)在二、四象限，
当xy＝0时，则有x＝0或y＝0，点(x，y)在坐标轴上，故选D.
7．方程组的解(x，y)构成的集合是( )
A．(5,4) B．{5，－4}
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
[答案] D
[解析] 首先A，B都不对，将x＝5，y＝－4代入检验知是方程组的解．∴选D.
*8.集合S＝{a，b，c}中的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] D
[解析] 由集合元素的互异性知，a、b、c两两不等．
9．设a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[答案] C
[解析] ∵{1，a＋b，a}＝{0，，b}，
∴a≠0，∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴＝－1，
∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2.故选C.
10．设集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,1,3}，若集合P＝{(x，y)|x∈A，y∈B，且x≠y}，则集合P中元素个数为( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．8个
[答案] D
[解析] x∈A，对于x的每一个值，y都有3个值与之对应，但由于x≠y，∴x＝1，y＝1，不合题意，故共有3×3－1＝8个．
[点评] 可用列举法一一列出：
P＝{(0，－1)，(0,1)，(0,3)，(1，－1)，(1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)}．
二、填空题
11．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．
[答案] {(2,4)，(5,2)，(8,0)}
[解析] ∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，
∴y为偶数且y≤5，
∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.
12．已知A＝{1,0，－1,2}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
[答案] {1,0,2}
[解析] 当x＝1时，y＝1；x＝0时，y＝0；x＝－1时，y＝1；x＝2时，y＝2，∴B＝{1,0,2}．
13．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________．
[答案] 2或4
[解析] ∵a∈A，∴a＝2或a＝4或a＝6，而当a＝2和a＝4时，6－a∈A，∴a＝2或a＝4.
三、解答题
14．用列举法表示集合．
(1)平方等于16的实数全体；
(2)比2大3的实数全体；
(3)方程x2＝4的解集；
(4)大于0小于5的整数的全体．
[解析] (1){－4,4} (2){5} (3){－2,2} (4){1,2,3,4}．
15．用描述法表示下列集合：
(1){0,2,4,6,8}；
(2){3,9,27,81，…}；
(3)；
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
[解析] (1){x∈N|0≤x<10，且x是偶数}．
(2){x|x＝3n，n∈N＋}．
(3){x|x＝，n∈N＋}．
(4){x|x＝5n＋2，n∈Z}．
*16.设A表示集合{2,3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|,2}，若已知5∈A，且5?B，求实数a的值．
[解析] ∵5∈A，且5?B，∴
即∴a＝－4.
17．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
[分析] 集合A是方程ax2－3x－4＝0的解集．A中有两个元素，即方程有两个相异实根，必有a≠0；A中至多有一个元素，则a≠0时，应有Δ≤0；a＝0时，恰有一个元素．
[解析] (1)∵A中有两个元素，∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴，即a>－且a≠0.
(2)当a＝0时，A＝{－}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
*18.设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2008＋b2007.
[解析] 解法1：∵A＝B，∴或
解方程组得，或或a＝1，b为任意实数．
由集合元素的互异性得a≠1，
∴a＝－1，b＝0，故a2008＋b2007＝1.
解法2：由A＝B，可得
即
因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.
解方程组得，a＝－1，b＝0.故a2008＋b2007＝1.
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