1.1 第2课时 弧度制
一、选择题
1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin2
C. D．2sin1
[答案] C
[解析] 如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交A于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝.∴选C.
[点评] 本题是据弧长公式l＝|α|r求弧长，需先求半径．
2．圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是( )
A.cm2 B.cm2
C．πcm2 D．3πcm2
[答案] B
[解析] ∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，
∴S＝lr＝××6＝(cm2)．
3．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[答案] B
[解析] 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.
4．圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D．2
[答案] C
[解析] 设圆内接正三角形边长为a，则圆的半径r＝a，所以a＝r，因此α＝＝.
5．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．13 B．23
C．43 D．49
[答案] B
[解析] 如图，设内切圆半径为r，则r＝，
∴S圆＝π·2＝，S扇＝a2·＝，
∴＝.
6．集合{α|α＝－，k∈Z}∩{α|－π<α<π}等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由－π<－<π及k∈Z知，k＝－1,0,1,2，故选C.
7．若扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm2，则扇形圆心角的弧度数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的半径为R，弧长为l，由已知条件可知解得，所以扇形的圆心角度数为＝2.
8．集合P＝{x|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}．则P∩Q＝( )
A．?
B．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
[答案] B
[解析] 令k＝0，±1，在数轴上标注出P与Q如图所示可知选B.
二、填空题
9．圆的半径变为原来的，而弧长不变，该弧所对的圆心角是原来的________倍．
[答案] 2
[解析] ∵L＝r·θ，∴θ＝，
∵半径变为原来的，弧长不变，
∴圆心角变为θ′＝＝2·＝2θ.
10．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．
[答案]
[解析] 设圆半径为r，正方形边长为a，则a2＋a2＝(2r)2，∴a＝r，设圆周角弧度数为α，则2α＝＝＝，∴d＝.
[点评] 圆弧所对的圆周角的弧度数等于圆心角弧度数的一半．
11．已知2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，则为第________象限角．
[答案] 一或三
12．已知角α、β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.
[答案] {β|β＝2kπ－，k∈Z}
[解析] 如图，－角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为－＋＝－，∴β＝－＋2kπ，k∈Z.
三、解答题
13．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，判断θ所在的象限．
[解析] (1)当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋，α为第一象限角．
(2)当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2nπ＋π，α为第二象限角，∴θ为第一或第二象限角．
14．已知α是第二象限的角，
(1)指出所在的象限，并用图形表示其变化范围．
(2)若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取值区间．
[解析] (1)依题意，2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ＋<2πrad舍去．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad.
(2)设扇形弧长为l，∵72°＝72×＝(rad)，
∴l＝αR＝×20＝8π(cm)．
∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．
(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，
∴l＝40－2r，∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大．
这个最大值为100cm2，这时θ＝＝＝2rad.
16．圆上一点A依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？
[解析] ∵0<θ≤π，∴0<2θ≤2π，
又∵2θ在第三象限，∴π<2θ<π，
∴14θ＝2kπ，k∈Z，∴2θ＝kπ，k∈Z.
当k＝4,5时，2θ＝π，π，它们都在内．
因此θ＝πrad或θ＝πrad.
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