1.2.1函数的概念
一、选择题
1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( )
A．fx→y＝x
B．fx→y＝x
C．fx→y＝x
D．fx→y＝
[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
2．某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t＝0表示1200，其后t的取值为正，则上午8时的温度为( )
A．8℃ B．112℃
C．58℃ D．18℃
[答案] A
[解析] 1200时，t＝0,1200以后的t为正，则1200以前的时间负，上午8时对应的t＝－4，故
T(－4)＝(－4)3－3(－4)＋60＝8.
3．函数y＝＋的定义域是( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．[0,1] D．{－1,1}
[答案] D
[解析] 使函数y＝＋有意义应满足，∴x2＝1，∴x＝±1，故选D.
4．已知f(x)的定义域为[－2,2]，则f(x2－1)的定义域为( )
A．[－1，] B．[0，]
C．[－，] D．[－4,4]
[答案] C
[解析] ∵－2≤x2－1≤2，∴－1≤x2≤3，即x2≤3，∴－≤x≤.
5．若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1,3]，则y＝f(x)的定义域是( )
A．[1,3] B．[2,4]
C．[2,8] D．[3,9]
[答案] C
[解析] 由于y＝f(3x－1)的定义域为[1,3]，∴3x－1∈[2,8]，∴y＝f(x)的定义域为[2,8]，故选C.
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有( )
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
[答案] C
[解析] 当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
7．函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a∈R} B．{a|0≤a≤}
C．{a|a＞} D．{a|0≤a＜}
[答案] D
[解析] 由已知得ax2＋4ax＋3＝0无解
当a＝0时3＝0，无解
当a≠0时，Δ＜0即16a2－12a＜0，∴0＜a＜，
综上得，0≤a＜，故选D.
*8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年．( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] D
[解析] 由图得y＝－(x－6)2＋11，解y≥0得6－≤x≤6＋，∴营运利润时间为2.
又∵6＜2＜7，故选D.
9．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f等于( )
A．15 B．1
C．3 D．30
[答案] A
[解析] 令g(x)＝1－2x＝得，x＝，
∴f＝f＝＝15，故选A.
10．函数f(x)＝，x∈{1,2,3}，则f(x)的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．{1，，}
D．R
[答案] C
二、填空题
11．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y＝________，其定义域为________．
[答案] y＝2.5x，x∈N*，定义域为N*
12．函数y＝＋的定义域是(用区间表示)________．
[答案] [－1,2)∪(2，＋∞)
[解析] 使函数有意义应满足：∴x≥－1且x≠2，用区间表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．
三、解答题
13．求一次函数f(x)，使f[f(x)]＝9x＋1.
[解析] 设f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋1，比较对应项系数得，
?或
∴f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－.
14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？
[解析] 设销售单价定为10＋x元，则可售出100－10x个，销售额为(100－10x)(10＋x)元，本金为8(100－10x)元，所以利润y＝(100－10x)(10＋x)－8(100－10x)＝(100－10x)(2＋x)＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360所以当x＝4时，ymax＝360元．
答：销售单价定为14元时，获得利润最大．
15．求下列函数的定义域．
(1)y＝x＋； (2)y＝；
(3)y＝＋(x－1)0.
[解析] (1)要使函数y＝x＋有意义，应满足x2－4≠0，∴x≠±2，
∴定义域为{x∈R|x≠±2}．
(2)函数y＝有意义时，|x|－2>0，
∴x>2或x<－2.
∴定义域为{x∈R|x>2或x<－2}．
(3)∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，
∴要使此函数有意义，只须x－1≠0，∴x≠1，
∴定义域为{x∈R|x≠1}．
16．(1)已知f(x)＝2x－3，x∈{0,1,2,3}，求f(x)的值域．
(2)已知f(x)＝3x＋4的值域为{y|－2≤y≤4}，求此函数的定义域．
[解析] (1)当x分别取0,1,2,3时，y值依次为－3，－1,1,3，
∴f(x)的值域为{－3，－1,1,3}．
(2)∵－2≤y≤4，∴－2≤3x＋4≤4，
即，∴，
∴－2≤x≤0，即函数的定义域为{x|－2≤x≤0}．
*17.已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x－2)的定义域．
[解析] 由y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]知x＋1∈[－1,4]，∴y＝f(x－2)应满足－1≤x－2≤4
∴1≤x≤6，故y＝f(x－2)的定义域为[1,6]．
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