1.2 第3课时 同角三角函数的基本关系
一、选择题
1．(09·陕西文)若tanα＝2，则 的值为( )
A．0 B.
C．1 D.
[答案] B
[解析] 原式＝＝，故选B.
2．已知sinα、cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为( )
A. B．－
C. D.
[答案] B
[解析] 由Δ≥0知，a≤.
又
由(1)2得：sinαcosα＝－，∴＝－，∴a＝－.
3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[答案] D
[解析] 解法一：∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，∴原式＝＋，
(1)当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；
(2)当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.
解法二：∵角α的终边在直线y＝－x上，
∴α＝kπ－ (k∈Z)，
∴sinα与cosα符号相反，
∴＋＝＋＝0.
4．已知＝2，那么(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为( )
A．6 B．4
C．2 D．0
[答案] B
[解析] 由＝2得，sin2θ＋4＝2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，∴cosθ＝1或－3，
∵|cosθ|≤1，∴cosθ＝1，∴sinθ＝0，
∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
5．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] D
[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，
∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－.
[点评] 已知角α的某三角函数值，求α的其它三角函数值时，可先判定其符号，然后构造直角三角形求其绝对值．
如cosα＝－，α为第三象限角，求sinα的值时，由于sinα<0，构造直角三角形，如图可知|sinα|＝，
∴sinα＝－.
6．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴原式＝sinα＋sin2α＝1.
7．若α∈[0,2π)且＋＝sinα－cosα，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵＋＝|sinα|＋|cosα|＝sinα－cosα，
∴，故选B.
8．(08·浙江理)若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
[答案] B
[解析] 解法一：将已知等式两边平方得
cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，
化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，
即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.
解法二：设tanα＝k，则sinα＝kcosα代入cosα＋2sinα＝－中得cosα＝－，
∴sinα＝－代入sin2α＋cos2α＝1中得，
＋＝1，∴k＝2.
二、填空题
9．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝________.
[答案]
[解析] ∵sinθ－cosθ＝，∴sinθ·cosθ＝，
∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝＝.
10．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.
[答案]
[解析] 由已知<α＋<，∴sin>0，
∴sin＝＝.
11．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.
[答案] 1
[解析] 原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.
12．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝________.
[答案] －或－
[解析] 由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8，
m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－，
m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，tanθ＝－.
[点评] 本题易错点为直接由tanθ＝给出一个关于m的表达式或者求解关于m的方程时，将零因子约掉只得出m＝8.
三、解答题
13．已知α是第三象限角，化简－.
[解析] 原式
＝－
＝－
＝－
∵α是第三角限角，∴cosα<0，
∴原式＝－＝－2tanα.
14．已知α∈，2tanα＋3sinβ＝7，且tanα－6sinβ＝1，求sinα的值．
[解析] 由2tanα＋3sinβ＝7?4tanα＋6sinβ＝14①
又tanα－6sinβ＝1②
①＋②解得tanα＝3，
又由1＋tan2α＝得，
cos2α＝＝＝，
则sin2α＝1－cos2α＝.
∵0<α<，∴sinα＝.
15．化简 .
[解析] ＝
＝＝＝－1.
16．已知tanα＝，求下列各式的值．
(1)＋ ；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
[解析] (1)＋＝＋＝＋＝.
(2)＝＝＝.
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α
＝＝
＝＝.
17．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，
求值：(1)tanθ； (2)sin3θ＋cos3θ.
[解析] ∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，
平方得：sinθcosθ＝－<0，
∴sinθ>0，cosθ<0，且sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根．解方程得x1＝，x2＝－，
∴sinθ＝，cosθ＝－.
∴(1)tanθ＝－，(2)sin3θ＋cos3θ＝.
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