1.3 第1课时 三角函数的诱导公式1
一、选择题
1．(07·湖北)tan690°的值为( )
A．－ B.
C. D．－
[答案] A
[解析] tan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－，选A.
2．已知f(x)＝cos，则下列等式成立的是( )
A．f(2π－x)＝f(x) B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝－f(x) D．f(－x)＝f(x)
[答案] D
[解析] ∵f(－x)＝cos＝cos＝f(x)，∴选D.
3．函数f(x)＝cos(x∈Z)的值域为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 对x依次赋值0,1,2,3,4，…，很容易选出．
4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B.
C．± D.
[答案] B
[解析] ∵sin(π＋α)＝，∴sinα＝－，
又α是第四象限角，∴cosα＝＝，
∴cos(α－2π)＝cosα＝.
5．已知sin＝m，则cos的值等于( )
A．m B．－m
C. D．－
[答案] C
[解析] ∵sin＝sin＝sinπ，
∴sinπ＝m，且π∈，∴cos＝.
6．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2010)等于( )
A．4 B．3 C．－5 D．5
[答案] C
[解析] ∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，
∴asinα＋bcosβ＝－5.
∴f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－5.
7．(2010·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] 因为sin80°＝
＝＝，
所以tan100°＝－tan80°＝－＝－.
8．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则
的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
[答案] A
[解析] ∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.
原式＝＝＝＝.
二、填空题
9．若sin＝，则sin＝________.
[答案] －
[解析] sin＝sin
＝－sin＝－.
10．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．
[答案] [2kπ－π，2kπ]，(k∈Z)
[解析] ∵|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，
∴|sinα|＝－sinα，∴sinα≤0，
∴2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z.
11．sin，cos，tan，从小到大的顺序是________．
[答案] cossin>0，
∴cos0，
又∵α为第三象限角，
∴sin(75°＋α)＝－
＝－＝－，
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－＋.
16．化简：
·.
[分析] “脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．
[解析] 原式＝·
＝
＝·
＝
[点评] 注意变形的技巧，对于.我们可以分子、分母同乘以1＋sinα，也可以分子、分母同乘以1－sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以1＋sinα.
17．已知sinθ、cosθ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．
(1)求m的值；
(2)求＋的值．
[解析] (1)由韦达定理可得
由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－2.
将②代入得m＝－，满足Δ＝(－1)2－4m≥0，
故所求m的值为－.
(2)先化简：＋＝＋
＝＋＝
＝cosθ＋sinθ＝－1.
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