1.3.1.1函数的单调性
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
A．y＝1－x2 B．y＝x2＋x
C．y＝－ D．y＝
[答案] D
[解析] y＝1－x2在(－∞，0)上为增函数，y＝x2＋x在(－∞，0)上不单调，y＝－在(－∞，0)上为增函数，故选D.
2．已知f(x)是R上的减函数，则满足f>f(1)的x的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵f(x)在R上单调递减且f()>f(1)，
∴<1，∴x<0或x>1.
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
[答案] B
[解析] y＝3－x，y＝，y＝－|x|在(0,2)上都是减函数，y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
4．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则( )
A．f(－x1)＞f(－x2)
B．f(－x1)＜f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2)
D．无法确定
[答案] B
[解析] 由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.
5．函数f(x)＝的单调增区间为( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．[3,7]
[答案] C
[解析] 方程－x2＋6x＋7＝0的两根为x1＝－1，x2＝7，又y＝－x2＋6x＋7对称轴为x＝3，如图知选C.
6．函数y＝1－( )
A．在(－1，＋∞)内单调递增
B．在(－1，＋∞)内单调递减
C．在(1，＋∞)内单调递增
D．在(1，＋∞)内单调递减
[答案] C
[解析] 因为函数y＝1－可视作函数y＝－的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y＝1－在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C.
7．已知函数y＝f(x)的定义域是数集A，若对于任意a，b∈A，当af(1)>f(2)．
[点评] 当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．
9．(09·天津文)设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
[答案] A
[解析] ∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1)
得x2－4x＋6>3，
∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．
当x＜0时，由f(x)＞f(1)得x＋6＞3∴x＞－3，
∴x∈(－3,0)．
综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.
10．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案] D
[解析] 函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．
如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
二、填空题
11．考察单调性，填增或减
函数y＝在其定义域上为________函数；
函数y＝在其定义域上为________函数．
[答案] 减 减
12．若f(x)＝，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
[答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1]
[解析] 画出f(x)＝的图象如图，可知f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.
13．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝________.
[答案] 21
[解析] 由已知得－＝－2，解得m＝－16
∴f(x)＝4x2＋16x＋1，则f(1)＝21.
三、解答题
14．设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性
(1)y＝f(x)＋a
(2)y＝a－f(x)
(3)y＝[f(x)]2.
[解析] (1)y＝f(x)＋a是减函数，(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略．
(3)设x2＞x1，f 2(x2)－f 2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0，∴y＝f 2(x)是减函数．
15．画出函数y＝|x2－x－6|的图象，指出其单调区间．
[解析] 函数解析式变形为
y＝
画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[，3]．
16．讨论函数y＝在[－1,1]上的单调性．
[解析] 设x1、x2∈[－1,1]且x1x1≥0,1≥x2>0，x1f(x2)，
∴f(x)在[0,1]上为减函数，
当－1≤x1<0，－10)在(0，a]上是减函数．
18．已知f(x)在R上是增函数，且f(2)＝0，求使f(|x－2|)>0成立的x的取值范围．
[解析] 不等式f(|x－2|)>0化为
f(|x－2|)>f(2)，∵f(x)在R上是增函数，
∴|x－2|>2，∴x>4或x<0.
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