1.3 第2课时 三角函数的诱导公式2
一、选择题
1．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] D
[解析] cos(＋α)＝sin(－α)．
＝－sin(α－)＝－.
2．已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )
A. B．－
C．± D.
[答案] B
[解析] ∵cos(＋α)＝－，∴sinα＝－，
∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－＝－.
3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B>90°，∴B>90°－A，∴cosBcosA，故cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，选B.
4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A．2 B．－2
C．2－ D.－2
[答案] C
[解析] 解法一：由条件可知点P到原点距离为2，∴P(2cosα，2sinα)，∴，
根据诱导公式及α为锐角可知，
，∴α＝2－.
解法二：点P位于第一象限，且
tanα＝－cot2＝－tan＝tan，
∵2－∈，∴α＝2－.
5．(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] A
[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°
＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.
6．已知cos(＋φ)＝且|φ|<，则tanφ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] C
[解析] ∵cos(＋φ)＝－sinφ＝，
∴sinφ＝－，∵－<φ<，
∴cosφ＝，∴tanφ＝＝－.
7．A、B、C为△ABC的三个内角，下列关系式中不成立的是( )
①cos(A＋B)＝cosC ②cos＝sin
③tan(A＋B)＝－tanC ④sin(2A＋B＋C)＝sinA
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] C
[解析] ∵cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，
∴①错，排除B、D；
cos＝cos＝cos＝sin，
∴②正确，排除A，∴选C.
8．tan110°＝k，则sin70°的值为( )
A．－ B.
C. D．－
[答案] A
[解析] 解法一：∵k<0，sin70°>0，∴排除C、B，
又|sin70°|<1，∴排除D，选A.
解法二：k＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k>0，
∴cos70°＝－sin70°代入sin270°＋cos270°＝1中得，sin270°＝，∵k<0，sin70°>0，
∴sin70°＝－ .
二、填空题
9．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
[答案]
[解析] ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
10．化简＝________.
[答案] cos20°－sin20°
[解析] 原式＝
＝
＝|sin20°－cos20°|＝cos20°－sin20°.
11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则＝________.
[答案]
[解析] 由已知得sinα＝－.
∵α是第三象限角，∴cosα＝－＝－.
∴原式＝＝＝.
12．若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为________．
[答案] －
[解析] 由已知得sinα＝，原式＝
＝＝－＝－.
13．式子cos2＋cos2＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝sin2＋cos2
＝sin2＋cos2＝1.
14．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos＋sin·sin(π－α)的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵tan(π－α)＝2，∴tanα＝－2，
∴原式＝－2sinα·(－sinα)＋(－cosα)·sinα
＝2sin2α－sinαcosα＝
＝＝＝2.
三、解答题
15．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．
[解析] ∵cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，
∴75°＋α是第四象限角，
且sin(75°＋α)＝－＝－.
∴sin(195°－α)＋cos(α－15°)
＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)
＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)
＝－－＝－.
16．已知x∈R，n∈Z，且f(sinx)＝sin(4n＋1)x，求f(cosx)．
[解析] f(cosx)＝f
＝sin
＝sin
＝sin＝cos(4n＋1)x.
17．若sinα，cosα是关于x的方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求实数m的值．
[解析] ，
由②③得4m2＝1＋，∴12m2－4m－5＝0.
∴m＝－或m＝，m＝不适合①，m＝－适合①，
∴m＝－.
18．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝·cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sinα和cosβ.
[解析] 由已知得sinα＝sinβ①
cosα＝cosβ②
①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sinα＝.
将sinα＝代入①得sinβ＝.故cosβ＝±.
[点评] cos(π－α)＝cos(π＋β)可化为cosα＝cosβ，利用sin2β＋cos2β＝1求解，也可化为cosα＝cosβ，利用sin2α＋cos2α＝1求解．
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